dai' P

Si l'on remarque que l'on a, à cause de a — —■>

on tirera aisément des formules (3) les expressions cherchées, savoir

/T^ / /ru, «'' [ ,dPe('^ ^ d"-' eM^ ^/'-^eC)"!

.p dai>

()PÇP)

.p daP

rt/^

dPW')

dai"

olp r dPf^^^ di'-'^f'^''>

^ 1.2. . ./? | <^a/' -^ daP-^

116. Nous allons terminer ce Chapitre en faisant connaître une manière

spéciale de calculer, soit les quantités oP^"» soit leurs dérivées des divers ordres.

Nous avons dit que les séries directes se prêtent mal au calcul des quantités

,'" : mais il est possible d'obtenir un résultat satisfaisant en transformant d<xP *■

ces séries.

Considérons d'une manière générale la série convergente (26) /(a?) — A + B^ + C^2^D^5+...,

dans laquelle nous supposons o<C. ^ <Ci- On peut écrire

comme on le voit en réunissant les termes qui contiennent A, puis B, .... Or le coefficient de A peut être remplacé par ; celui de B — A, par -~^—, . • • . On en conclut cette formule importante

A+ Ba^+C^2 j D 2,3+,^__A+ ^ [B A + (G — B)a;+ (D - C)a;2 + . . .],

OU bien

( f{.x) = A-hBa;-\-Cx''i-J)x^-h...

nous avons introduit l'algorithme des différences, en posant aiA = B — A, (5iB = C — B, Nous ferons de même, dans un moment,

d^X=§,-B-d,A, Ô2B=âiC-(5iB, ...;

Appliquons la formule (27) à la série §, A + ^o,B 4- . . . ; nous trouverons

(28) èiA + œS^B -^ x'd^C-^ ccH.D +...=: -^^ + -^ {à^A+ xè^B + jcH^C + œ^d.B -i-. . .). Nous aurons de même

On conclut de (27) et (28), puis de (27), (28) et (29), les formules sui- T. - l. 37

vantes :

^•'^^ I — a; (1 — cc)^ (i — i!?)* \i — x) ^

La loi de ces diverses formules est manifeste; la dernière de toutes, qui est d'Euler, serait

On pourra employer, pour le calcul de /(x), l'une des séries (26), (27), (3o), (3i), . . . , (32), en admettant, bien entendu, que ces séries soient convergentes; il pourra se faire que quelques-unes d'entre elles soient beaucoup plus convergentes que les premières.

Appliquons ces considérations h la fonction ift)'" : si nous faisons

. s{s + i)...is + i—ï) „ 5 5(54-1). . .(.v-f- 0

nous trouverons

a)by''= a'(A -i- Ba-+ Ca* +. . .),

il'4') = a'-«[32A 4- «'■[3«(ai A 4- a^ôiB 4- aM, C 4-. . .),

oliy izr a'-2 [32 ( A 4- (3'' ôi A ) h a^' (3* ( 02 A 4- a^ Ô2 B 4- ccMj C 4- . . . ),

il»4''=: a'-2[3î(A 4- {3^51 A 4- (S-'^îA) 4- «'^«(ôsA 4- aMjB -+- «^30 + .. .),

aP4'' r= «'-« p* ( A 4- (3« ô, A 4- P* a^ A 4- (3« 03 A 4- . . . ) .

C'est en suivant cette voie que Le Verrier est arrivé à obtenir des séries assez

da''

rapidement convergentes, soit pour iPo^", soit pour — t~-', elles lui ont servi à

contrôler les valeurs de —~- obtenues par la méthode indiquée au ri° 112; pour

les détails nous renverrons le lecteur au tome II des Annales de r Observatoire de Paris, p. lo-i 7.

J'énoncerai en terminant un théorème que j'ai donné dans le tome XG des

Comptes rendus de L'Académie des Sciences (i?oï>dans le même Volume des Notes intéressantes sur le même sujet, par M. G. Darboux, et M. 0. Callandreau).

.L'expression

aP dPWVp

d<xP

I 3 5 dans laquelle s désigne l'une des quantités - ^ -■>-■> '•■■, tend vers zéro pour

a < -j et vers l'infini pour a> -> quand, i et s restant fixes, p croît indéfiniment.

DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE DANS LE CAS OU LES EXCENTRICITÉS ET LES INCLINAISONS MUTUELLES DES ORBITES SONT PEU CONSIDÉRABLES.

117. Nous allons chercher les expressions analytiques des coefficients du développement de la fonction perturbatrice suivant la forme indiquée au n^ 70.

Considérons deux planètes P et P', les rayons vecteurs r= SP et r' = SP' menés du Soleil S à ces planètes; désignons par a le cosinus de l'angle PSP'. Les fonctions perturbatrices correspondant aux actions de P' sur P et de P sur P' s'obtiendront en multipliant respectivement par fm' et îm les quantités suivantes :

Ces quantités ont une partie commune ^, l'inverse de la distance mutuelle A = PP' ; nous ferons

Rl = -r rr:(/-2 + r'2 2/T'a)'

et nous nous occuperons d'abord du développement de R,.

Fig. 20.

Traçons une sphère de rayon i ayant son centre au centre S du Soleil (/ig. 20).

DÉVELOPPEMENT DE LÀ FONCTION PERTURBATRICE. 2g'5

Les parties positives des axes de coordonnées la perceront en ;r et j; soient NM et N'M' les grands cercles suivant lesquels la sphère est coupée par les plans des orbites des deux planètes pour l'époque quelconque t, et soit G le nœud ascendant de la première orbite par rapport à la seconde. Les rayons vecteurs SP et SP' perceront la sphère en M et M', et l'on aura

CT = cosMM'.

N et N' sont les nœuds ascendants des deux orbites relativement au grand cercle xy. Il convient de rappeler que le plan de l'orbite d'une planète à un moment donné est le plan qui passe par le Soleil et par la vitesse de la planète à l'instant considéré.

Posons

MGM' = J.

La première chose à faire est de calculer J, t et t' en fonction de ô, G', cp et cp': cela revient à résoudre un triangle sphérique NON' connaissant un côté NN' = 0 — 0' et les angles adjacents NN' G = 9' et N'NG = tt - cp; les autres éléments NG = t — 0, N'G — r:' — G' et NGN' = J seront calculés sans ambiguïté par les formules de Delambre

sm - sin ^^ ^ = sm sm ^ ^

sin - cos^ ^ = CCS sm

cos- sm ^^ ^ =-- sm cos

J {r'-e') — {r-9) 6—9' 0 — 0' cos- cos^ — -^^ =008 ces- ^- •

On en tirera, en effet, -, t — G, t' — G', d'où J, t et t'.

On peut aussi employer pour le même but le groupe des formules de Gauss:

isinJ sin (t — 0) -= sin^' sin(ô -- ô'), siiiJ cos(t — (9) =: cos9'sin9 — siii9'cos9 cos(9 — ô'), v-T/ > cosJ = cos 9 cos 9'+ sin 9 sin 9' cos (ô— 5'),

I sinJ sin(T'— (9')~ sin9 sin(0— 9'), \ sinJcos(T'— 9') ^— cos 9 sin9' -+- sin9 cos9'cos(0— 9' ).

Si l'on ajoute les deux premières ou les deux dernières des relations (3) après

les avoir multipliées par des facteurs, tels que — sin et + cos ? des-

tines a taire disparaître ou du premier membre de 1 équation résultante, on trouve les formules suivantes ;

. J t4-t' 0-hO' O — O'.o — o' , Q-^B' . 0 — 0' . Q-ho' sin - cos = cos ces sin -" sin sm sin -

. J . t + t' . 0-\-0' 0-0' . o — o' 0-^0' . 0-0' . o + o' sin - sm = sin cos sin ' — h cos sin ■ sin -

cos

J T — t' .6-0' 9-9' . .6-0' 9 - cos = cos^ • cos — h sin- cos

cos - sin

^ ■ rû ûf\f 9 — 9 9 -^-9 \

- r=: - Sin(d — 0'){ cos COS ~ ■

Une transformation facile donne ensuite

sin - , ,

-. cos = lang -^ cos y — tang-'- cosô',

Cp o 2 ° 2 ^2

COS- cos —

Sin - ,