II A

~" 2 Aj'

35 As^

On voit qu'il faut aller assez loin dans la série pour trouver une diminution des termes aussi rapide que celle qui a lieu pour iiî,^^'.

Il convient donc d'avoir recours à d'autres procédés pour calculer , '/ •

Revenons à l'équation ((>) et différentions-la par rapport à a; nous trouverons

— 52a— (- + -) i + a^-afs-h-j

d'où

don

en égalant dans les deux membres de cette équation les coefficients de :;', il vient

, Les \i\is+x ayant été calculés, cette formule résoudrait la question pour les dérivées premières des iR),; mais il est préférable d'introduire dans le second membre les ift,^ au lieu des ^S'os+\ • La formule (G) donne d'abord

et, en portant dans (N), il vient

da ^^^ ^^^ a

Si l'on met dans cette formule, au lieu de iPo^'^, et de iPo^/+V'» I^urs valeurs (H) et (H'), on trouve, après réduction,

da. a ( I a'^ )

Mais il serait difficile de calculer ainsi les dérivées suivantes.

Nous allons trouver une autre formule qui nous sera plus commode; en retranchant de (N) ce que devient cette équation quand on y change « en/;" — 2, il vient

^ilKC') /Vil',' '-2)

or chacune des trois parties du second membre de cette équation peut se déduire de la formule (G) elle-même, ou de cette formule dans laquelle on remplace «par i — \ ou par i ~ 2; en opérant ainsi, on trouve

Cette formule importante ne contient pas s explicitement; elle s'applique donc aux quantités U^\ é'\ e^'\/^'K

Elle permet, en donnant à « les valeurs 2, 3, ..., de calculer de proche en

proche ——} —.— y "■■> —r^ en fonction de ——^ de —7^ et de iiv"', iiî, '

^ dot. dcf. dcf. doL dot s ^ s ••

optfj"; ces dernières quantités doivent être considérées comme connues par ce qui précède; il restera seulement à déterminer — '~- et — ^^ •

• * dy. (lot.

En différentiant (p ~ i) fois la formule (Q) par rapport à a, on trouvera

En faisant dans cette formule d'abord

p =1 ?. et / ^= 2, 3, . . . ,

puis

on obtiendra de proche en proche toutes les dérivées des divers ordres des fonctions oPo^' en fonction des quantités connues et des dérivées des divers ordres de 1)])^°' et de iJlJ,". Il ne nous reste donc plus qu'à montrer comment on

pourra calculer —/-y- 6t —j-y- ou bien

^/'^,(o) <iP6(i) J/^c^oi ^/'c(i' ^/'e«» «/''eC) /^/y*") «?/'/(»)

di'b^'» d''b''^'> 113. Commençons par —f^- et . ^ •

En faisant dans la formule (P) ^ = - et « = o, puis î = — i, il vient

db(^'> __ abW—b'^^^ db(^^ aè(o)è(i)^

da. ^ I — a^ doi. a ( i — a'^ ) ^

d'où

Ces formules donneront d'abord -^— et -7—; en différentiant/? fois la formule (7), on trouve

^^'~''^-d^>Tr-^Pi'-^<^-')-^^~^P^P-^)^-aâ'^

dP-'^b^')

1 rf/'6«» dP-'b^^) dP¥'^^

do^p-^

On tire, d'ailleurs, de (q')

dyP daP-^

daP dP-'^b^^^

dxP-

doLP-"^

dP-^-b^'^ dx'' --

grâce à ces deux dernières formules, (25) donne

d"+'b^'^ ~d(xP^^

dPb^'

dP-^¥^^

dP-^b^') daP-^'

dPb^'^

Les formules (/-) et (/) donneront, de proche en proche, les dérivées secondes,

troisièmes, etc., de ^'"^ et U^'; --.—«— n'est pas donné par la relation (r')\ mais on trouve directement, en partant de {q) et {q' ),

a2(,a2)^L^ 3=(3a2-i)a -5- +6<»), doi^ doL

114. Il nous reste enfin à indiquer le calcul des dérivées des divers ordres des fonctions c(''^ é'\ e''\ é'\ /»', f'\ Les formules {k) donnent

(I — a)2 [c(«) + cO] = 6(") -- ^c).

En différentiant ces équations, par rapport à a, une fois d'abord et ensuite p — I fois, on en tire aisément

dPc^^) dPC^^^

d(xP

iVdc^ ^'^1 — __ L r^6(«) db('r} I r (0, („ ,

2 L ^a <Ya J 2(1 — ocy [^ doc doc j % — (x

I [dc^o) dc('n I rrf6(o) db^'n i , ,„,

I z= I 1 — — fc^"' c^'' •

2 \^ doc doc j 2 (i 4- a)^ L t/a doc ] i 4- a

I — a [ ^«''~' ^ ~docP-^ J ~ (i — a)2 [ ofa/^-=' ^ (/a/'-^J

7+~aLl/a/'-' rfa/^-i J ~ (, 4- a)* [ docP-'^ doc^'* J

Ces formules résolvent la question pour les dérivées deé^^ eié*^; on en trouvera d'analogues pour les dérivées de e<"' et e^*\ et de /'"' et/'", en partant des formules (A') et (k"). Nous renverrons pour plus de détails au tome X des Annales de r Observatoire de Paris, p. T7-36, où Le Verrier a développé complètement tous ces calculs.

115. Dans le développement de la fonction perturbatrice, il nous faudra encore calculer les expressions suivantes :

— rd)