cos((''— (') + - Q

en faisant

= — 2sm- 2 sm^-^ — h 2 sin^ ^ sin^ — cos(<^'— r)

+ sin9sin9'cos(p'— c — ô'h- B) 4- 2 sin- ? sin^— cos(«''— c — "iO' -\- 1O)

-T- 2 sin^ - cos^ — cos(i''-f- v — 1O) -\- 1 sin^— cos* ^ cos(r'-t- r — 2(5') 22 ' 22

— sin9sin{p'cos(t>'4- v — Q — B').

Nous poserons en même temps

,2 t /-'a 2 /•/•' COS («'' — {') rr: P,

3i6 CHAPITRE XVIII.

de telle sorte que la formule

nous donnera

Q est du second ordre, et, pour les anciennes planètes, la valeur absolue de r/ ^ est petite; on peut développer (P — rr'Q) - par la formule du binôme, ce qui donne

Il faut mettre pour r, r', c, c' les valeurs

r — a{i + \), /•'— a'(n-x'), v—l-\-y, v'^l' + y'-, on commencera par faire

r=za, r'=a', v = l, ^'=1';

R,, P, Q se changeront en Ro, Po et Qo, et il viendra

Pj = a*4- rt'2— 2aa'cos(/'— /);

(Qo = ( — 2 sin^ 2—2 sin* ^ -t- 2 sin« ^ sin' ?- ) cos( /'— /) (5o)

sintp sin9' cos(/'— /— Û' + 0) + 2 sin^-^ sin^-^- cos(/' — /- 2O' + 20)

' sm^ - 2 2

-+-2sin*^ cos^ ^ cos (/'+/— 2 0) + 2sin2 ^ cos^ 2 cos (/'+/— 2 0') 22^ ' 22'

— sinç sin9' cos(/'+ l— 0 — (/'); Ro= P? + ^ aa- P? Qo 4- ■ . . 4- "^,;4!.'.t7 ' ' "'"^' ^^^'"'^ Q" + ' ' ' ' Il convient de poser

(5i) lang-i-=:x, lang-^=:x'

Les coefficients des divers termes de Qo se développeront aisément suivant les

DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. Sl^

puissances des petites quantités x et //, et ces termes eux-mêmes seront de la forme

(52) •/<îx'G'cos(a/-|-a7'-i-y9+/9'),

les entiers G et G' étant égaux aux valeurs absolues dey et f , ou à ces valeurs augmentées de nombres pairs; c'est ce que l'on constate sur la formule (5o); on peut remarquer en même temps quey +/ est pair et que l'on a

Il faut maintenant élever Qo à la puissance k et, au lieu des puissances de cosinus, n'introduire partout que des cosinus des multiples des arcs /, /', 0 et ô'. Il est facile de voir que les divers termes de Q* seront encore de la forme (32); on aura encore

G = |y 1 + un nombre pair,

G'=|y'| + un nombre pair;

la démonstration se fait d'abord pour Q^ et s'étend ensuite de proche en proche. Les remarques faites sur les sommes ,/+/ et a H- «' + /-+-/ subsistent pour Qj. Nous aurons ensuite

(53) P7^*^'^ = - ^1>'"' 1 + 11'"'*' 1 cos(/' — /) + 11^2' 1 cos2(/'— n +. . . ,

et il faudra multiplier cette expression par a'^a'^Q^; les divers termes du produit seront de la forme

( 54 ) Mo x« x'G' cos ( a / + a' l' + y Q +y ' B' ) ,

Mo étant une fonction homogène de a et a' , de degré — i ; on aura encore

parce que, dans chacun des termes de l'expression (53) la somme des coefficients de / et /' est nulle.

Nous avons ainsi obtenu le développement de Ro ; pour passer à celui de R, , il faut remplacer a, a', /, /'par an- ax, a' -\- a'\', l-h y, l' -hy'; tous les raisonnements et calculs faits dans les n"^ 120, 121 et 122 subsistent identiquement, et l'on arrive à cette conclusion qu'un terme quelconque de la fonction perturbatrice peut être mis sous la forme

(a) Me"e"'' Uang | j ' hang -M cos(a/-t- «'/'+ (3ct 4- [3'Gj'-+-y 0 -Hy'O') ;

3l8 CHAPITRE XVIII.

M désigne une fonction homogène de degré — i de a et a'; les différences H — I ^|, H'— |^'|, G — \j\, G— l/l sont des nombres pairs positifs ou nuls; la somme y -+- f est toujours paire, et enfin on a