Reprenons la première forme

( Me"e'»' (sin J^ cosD,

' D = a}, + a'/'+[3w + [3'gj'— ayr'.

Il ne sera peut-être pas inutile de transformer directement (A) en (a). On aura d'abord

D^.(x(l-h2 ^-) + a' /' ^ |3 C^j + 2 '^—^) + [3'ct' - 2y (^-^ + ^^^"j

ou bien

en faisant

( A — a/4-a'/'+|3cT + (3'GT',

Désignons par p un nombre entier positif qui pourra être nul; nous aurons à transformer l'expression

' 0=(sin-J cosIA — 2y 20

ou bien

(56) 0=^u(^sin^y^

en posant

(57) Urr:(^sin'-j cos(A~2y ^-±^-2ôl^

Il y a lieu d'introduire

V— (sin-j smlA — 2y 20- -1

DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. SlQ

On aura

(58) U+Vv/-7=(sin^y'EA^-E-^^^-' — E-"^-"

Or, si l'on a égard aux formules (5) et (5i), on trouve

sin - E ^ = — :

Ci := ï

COS - l/lH- x^ v/l H-x'2 2 "^ ^

en portant dans l'équation (58), il vient

,, ,, , — EAv'=T(.^E-ôv/'-i^.E-0V-)^Yri 4.^./E<0'-0)v/=ïP^

(COS-J (H-x2)Y+8(i+x'2)T+8

U sera la partie réelle du second membre.

Or le terme général du développement de ce second membre est de la foi-me

^^^ ^ £[A;,0-(2y-/,)9'+7(6'-0)lv/-i,

(cos-j (n-x2)r+<^(i 4-x'2)ï+o

où A est un coefficient numérique, p et q deux entiers positifs ou nuls, infé- . rieurs ou égaux respectivement à 2y et 2§.

On en conclut la valeur de U, et, en tenant compte de (56), il vient

(59) 0= -— ^-^ ?-Z ^ Ax/'+^x'2Y-/^+^cos[A-(p4-<7);(9-(2y-^-y)9')].

(cOS^j (l4-x2)Y+8(n-x'2)r+ô

On tire, d'ailleurs, des formules (5),

. ,J X^H-x'^— 2XX'COS(0 — 0')

si l'on porte cette valeur de sin''- dans la formule (59) et que l'on remplace A

par sa valeur (55), on voit sans peine que 0 se compose d'une série de termes de la forme

x«x'G'cos(a/+ «'/'+ (3ct4- (3'cj'4-./9 4-y'6'),

avec la condition que l'on ait

G = |y I + un nombre pair, G'= \j' \-+- un nombre pair;

oc + a' 4- |3 + (3' +y +/ = G.

C'est le résultat que nous avions obtenu précédemment dans le n" 127.

Le Verrier a employé constamment la forme (A) dans ses théories des anciennes planètes; il a eu ainsi l'avantage de réduire les arguments à cinq au lieu de six, en ajoutant à / et cï la très petite correction z'— z.

Mais les équations différentielles (h) du n° 62 supposent la fonction perturbatrice développée sous la forme (a).

Pour utiliser le développement (A), il est nécessaire de transformer les équations différentielles : c'est ce qui va faire l'objet du Chapitre suivant.