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lion , sur la surface «lu sphéroïde terrestre , et altérer le mouvement de rotation. J'ai reconnu que ces effets seront toujours insensibles. M. Poisson a confirmé depuis, ce résultat important, par une savante analyse insérée dans le tome VIII du Journal de l'École Polytechnique. 11 restait à discuter une cause de variation du mouvement diurne de rotation , que les expériences faites sur la température des mines profondes, m'a paru indiquer. Ces expériences donnent un accroissement de température , a mesure que l'on s'enfonce au-dessous de la surface de la Terre. 11 est naturel d'en conclure que la Terre a une chaleur intérieure, croissante de la snrface au centre , et qui diminue sans cesse, par les pertes qu'elle éprouve à cette surface. En vertu de cette diminution, les parties de la Terre se resserrent; et comme cette cause n'altère point l'aire décrite par le rayon vecteur de chaque molécule du sphéroïde terrestre projetée sur le plan de l'équateur, le mouvement de rotation doit par là s'accélérer. On a vu dans l'onzième Livre , que l'effet de celte cause est jusqu'à présent , insensible ; en sorte que l'on peut regarder comme constante, la durée du jour, que les astronomes ont prise pour étalon du temps.

Enfin un troisième point de discussion , est la nulation de l'orbe lunaire, correspondante à la nutation de l'équateur terrestre. 11 résulte du n° io du second Livre , que, vu la grande distance du Soleil à la Terre et à la Lune , le centre de gravité du système de ces deux derniers corps , est à très peu prés attiré par le Soleil , comme si toutes les molécules de ce système étaient réunies à ce centre. De là il suit que la somme des aires décrites autour de ce point, par le rayon vecteur de chaque molécule projetée sur le plan mené par le même point parallèlement à l'écliptique , est toujours le même en temps égal , quelle que soit la manière dont ces molécules agissent et réagissent les unes sur les autres. Or, en vertu de la nutation de l'axe terrestre, la somme des aires décrites par les molécules du sphéroïde terrestre , autour du centre de gravité du système de la Terre et de la Lune, est assujettie à une inégalité semblable, à la notation; l'aire décrite par le rayon vecteur de la Lune, doit donc être assujettie à une • inégalité contraire , ce qui ne peut av^ir , lieu qu'autant que l'expres- .sion. de, la latitude de la: Lune,, couùent une inégalité proportionnelle au siou* de la longitude moyenne de W Lune* et dont le coeftktfut dépend', comme celui de la nutafon, de l'aplatissement de la

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Terre. Je retrouve ainsi l'inégalité à laquelle je suis parvenu dans le second chapitre du Livre VII , par la considération directe do l'action du sphéroïde terrestre sur la Lune.

J'avais négligé dans le cinquième Livre , la petite nutation dépendante du double de la longitude du^nœud lunaire , parce qu'elle me paraissait devoir être insensible. Mais comme on peut facilement la comprendre dans les tables de la précession et de la natation, j'en donne ici l'expression qui confirme ce que j'avais dit à son égard.

Quelques astronomes ont pensé qu'il serait avantageux dans le calcul de ces phénomènes , d'employer la longitude vraie de la Lune , au lieu de sa longitude moyenne. Mais il est aisé de voir par l'expression différentielle de la nutation, réduite en sinus et cosinus du temps, que la différence entre la longitude vraie du nœud de la Lune et sa longitude moyenne serait insensible dans l'intégrale, parce qu'elle n'acquiert point par l'intégration pour diviseur , le très petit coefficient du temps dans la valeur de la longitude du nœud j en employant donc la longitude vraie du nœud , au lieu de sa longitude moyenne, on s'exposerait à une erreur qui pourrait devenir sensible.

Enfin, pour ne rien négliger sur un objet de cette importance dans l'Astronomie , j'ai considéré les termes dépeudans des variations séculaires des mouvemens de la Lune , et ceux qui dépendent de la quatrième puissance de sa parallaxe et de celle du Soleil ; et j'ai trouvé qu'ils sont insensibles.

Formules générales du mouvement de l'équateur terrestre.

a. Les expressions différentielles de ce mouvement, que j'ai données dans le n' 4 du Livre V, me paraissent être les plus simples auxquelles on puisse parvenir. Mais on peut leur donner la forme suivante qui présente quelques résultats utÛcs que nous allons exposer.

Soient a^y, *' les coordonnées d'une molécule dm de la Terre, rapportées au centre de gravité de cette planète , et à un plan fixe. Désignons par x",j", a", les coordonnées de la même molécule, rapportées au même centre et au premier, au second , et au troisième axe principal de la Terre que nous supposerons être à très peu près son axe de rotation. Nommons 8 le complément de l'angle que ce troisième axe Corme sur le plan fixe } et 4 le complément de l'angle que la pro-

LIVRE XIV. 3 5 9 jection de cet axe sur ce plan forme avec l'axe de x* ; 4 sera l'angle que ce dernier axe fait avec la ligue d'intersection du plan fixe, et du plan formé par le premier et le second axe principal. Désignons encore par ? l'angle que cette ligne d'intersection fait avec le second axe principal. Cela posé, on aura par le n* a6 du premier Livre,

x? — x"(cos0. sin 4 -sin <p -f- cos^.cos (p)

+y'(co»fl.sin4-c° s ^ — cos^.sin^)<-f-z". sinô.sin4; y = x"(cos0.cos4.sin^ — sin4-cos<p)

H-y'(cosfl.cos4.co«^+sin4.»in<p)4-a". sinfl.cos4; x' = a*. cosO — y.sinfl.cos? — x". sin Ô.sinç/

Soit

2 "')<fin=A; f(af*+a"1dmz=B; /(y'H-Jr"*)<fo» = C;

on aura, par les propriétés des axes principaux,

fxr/'dm = o; fx"z"dm = Oy ff'z"dm = o;

toutes ces intégrales étant étendues à la masse entière de la Terre. Ou aura, par la nature du centre de gravité,

f x\ dm = o ; fy . dm = o ; f z . dm = o ; fx 1 . dmz=.o ; fj". dmz=o; fz* i .dm = o.

Considérons faction d'un astre L sur la molécule dm. Soient x, jr f z les coordonnées de cet astre, rapportées au centre de la Terre, et aux axes des x*, des y et des z'. Faisons

V/(x - x'y + {y -y'y + c* -^T- ~~ dt étant l'élément du temps, supposons

a6o MÉCANIQUE CÉLESTE,

V est fonction de x>jr, z, x\ jf, z'. En y substituant pour y\ z', leurs valeurs précédentes, Y devient fonction de neuf quantités x,jr y z, x", y, s'', -vf, et 0, parmi lesquelles x", y , z" sont invariables pour la même molécule. On a donc

en ne faisant varier que 4 et ®> dans I e8 valeurs précédentes de Si l'on différencie ces valeurs, et qu'après les différentiations on fasse pour plus de simplicité, ^ nul; on aura

dx> = dp («' . sin 0 — / . cos 6) -f-y . <ty ; dj> = 3?. cosfl.dp — aftfy -f- i db'ss — x'.rfp.sinfl

Substituant ces valeurs dans l'équation précédente aux différences partielles, on aura en comparant séparément les coefliciens de dp, d-\, et les trois équations suivantes:

d'où l'on tire

,,<IVS + 6 (£) 'Kl?) Haï

Maintenant, les variables Q, 4 «t ô étant les mêmes pour toutes les molécules dto; il est clair que si l'on fait