CHAPITRE IL

De la figure de la Terre.

% . La figure de chaque coucbe du sphéroïde terrestre étant à fort peu prêt sphérique; j'exprimerai comme dans le troisième livre de la Mécanique céleste, son rayon par a. (i -f-ay), et étant un très petit coefficient constant. Je désignerai par p la densité de cette couche, p étant fonction de a. Je nommerai V la somme des quotiens de chaque molécule du sphéroïde terrestre , divisée par sa distance à un point extérieur attiré ; r étant la distance de ce point à l'origine des rayons terrestres, placée très près du centre de gravité de la Terre. Enfin , je nommerai /* le cosinus de l'angle que r fait avec une droite invariable sur la surface du sphéroïde, el que je prendrai pour son axe; et je nommerai et Fangle que le plan passant par cet axe et par r, forme avec un méridien fixe sur la surface du sphéroïde. On peut supposer/ développé dans une série de cette forme.

y =a Y if» -f- Y*> H- Y» -f- etc. ;

Y« étant une fonction de a, et de /a, \/T— &»n . « , V^i— /*' . cos », {onction rationnelle et entière relativement à ces trois dernières quantités , et telle que l'on a généralement

La formule (5) du n' 1 4 du troisième livre devient ainsi

v étant le rapport de la circonférence au diamètre : les différentielles et les intégrales sont relatives à la variable a, et celles-ci sont prises depuis a nul, jusqu'à sa valeur à la surface du sphéroïde, valeur que je prendrai pour l'unité.

UVRE XI. a 3

Concevons maintenant la mer en équilibre sur ce sphéroïde doué d'un mouvement de rotation. Soit o$ le rapport de la force centrifuge à la pesanteur, à Péquateur; et désignons par V la somme de toutes les molécules de la mer, divisées par leurs distances respectives au point attiré. Si l'on suppose ce point à la surface de la mer; on aura par les n"a3et 29 du troisième livre , pour l'équation de l'équilibre de la mer ,

Pour déterminer V, je supposerai que le rayon mené de l'origine des rayons terrestre», k la surface de la mer, sôit 1 -f- ety *f- *y y y étant la valeur de y à la surface du sphéroïde : ay' sera à très peu près la profondeur de la mer. Je supposerai ensuite

^= Y'<*> + Y*> -h Y'W -f Y'<*> -f- etc. ;

Y'W étant mie fonction rationnelle et entière de (*, Vi— «,

Vi— ft'.cosû), assujettie à la même équation aux différences partielles que Y (0 . On peut considérer la mer, comme égale à un sphéroïde dont le rayon est 1 + a/, moins un second sphéroïde dont le rayon

est i H- <*?■> plus la partie de ce sphéroïde, qui se relève au-dessu* du premier, et où, par conséquent, ay 1 est négatif. La somme des molécules du premier sphéroïde, divisées par leurs distances au point attiré, est par le n° 1 1, du troisième livre, en prenant pour unité, la densité de la mer,

Tr+ + — z? 1 5? " + «c )>

Y<'>, etc , étant ce que deviennent Y <«>, Y» etc., à la surface du sphéroïde terrestre. La même somme relative au second sphéroïde est

4» 1 / 1 Y"c») , YC 3 ) \

^ + àpm . ^ -t-.-j 4. etc. ) j

la différence de m deux quantité» eat

a4 MÉCANIQUE CÉLESTE,

en nommant donc V" la somme des molécules du second sphéroïde, qui se relèvent au-dessus du premier, et divisées par leurs distances respectives au point attiré, on aura

/VW Y'(0 Yt») x

V'= V" 4- 4**-.(V+ V + etc >

L équation précédente de l'équilibre de la mer deviendra ainsi const. = \ r .fp . d . a s +4*7r.ff>.d. {-^- + -^r~f- — -f- etc .)

-f-4«r.(— + 1 - r +-H r -f.etc.), (a)

r devant être supposé après les intégrations, égal à i+flty et par

conséquent égal à l'unité, dans les termes multipliés para; puisqu'on néglige les termes de l'ordre et*.

Cette équation a cela de remarquable , savoir que la différentielle de son second membre, prise par rapport à.r, et divisée par — dr, est l'expression de la pesanteur, comme il résulte du n° 33 du troisième livre; en nommant doncp la pesanteur, on aura

pzszfa./p.d.J + 4*w.y>.</.(- 3? 1 ^ h etc.)

-f- 4«ir . ^— 4— gp-4- -j-r -H etc J (3)

- ■ , - On a par le n 6 xo du troisième livre, à la surface de la mer.

Cette équation remarquable étant très utile pour ce qui va suivre ; je vau, en rappeler ici la démonstration.

Si l'on conçoit une sphère du rayon a, et dont la densité «oit exprimée par l'unité ; la somme de ses molécules divisées par leurs distances respectives à un point extérieur attiré dont r est la distance à son centre,