LIVRE XI
sera par le n° i a du premier livre, la masse de la sphère , divisée par r; en désignant donc par Y, cette somme, on aura
Maintenant, si Ton imagine une molécule dm très voisine de la surface de la sphère, et à la distance a' de son centre; sa distance au point
attiré sera
s/t*-— aaV. cosj' -f- a'*,
y étant l'angle compris entre r et a'. Le quotient de cette molécule divisée par sa distance au point attiré, sera
dm
l/r 1 — aaV.cosy + o 7 »' Kommons V ce quotient j on aura
/<*V\ dm.jr— a'.cosy) .
\drj— (^acv.cosy+a'.^'
ce qui donne
(<tV\i iv rfm. Çr*— a")
y«ywv= -
' aa'r . (1 — cas y)]»
Si le point attiré est très près de la surface de la sphère , ainsi que la molécule dm, alors t* — <i % est une quantité insensible que l'on peut négliger; et l'équation précédente devient
La même équation a lieu pour d'autres molécules situées comme dm, très près de la surface de la sphère; en nommant donc V" la somme des V relatifs à ces diverses molécules, on aura
et r étant très peu différent de a, on aura l'équation (a)
Le raisonnement précédent cesse d'avoir lieu , lorsque le point attiré est très près de la molécule dm; car alors cos y diffère très peu de l'unité, et la fonction
a .[(r— n'y + *dr. (i— cos ^J* Mécan. cél. Tome F. L
a6 MÉCANJQfUlL CÉLESTE,
devient trà gcandépao la pefekease.de son d^ieeu», àt umm que h* molécule dm ne décroisse à mesure qu'elle approche du point attiré: si, par exemple, ce décroissement, à partir du contact de la molécule, avait pour facteur le carré r*~ ao'r.cos^ -4"^* ue 1* distance de ces deux poiuts,, la fonction, précédente resterait toujours insensible*
Concevons- un sphéroïde, tqè&pcti différent d'une; sphèm> es supposons le point attiré, à sa surface. Imaginons à ce point une sphère intérieure au sphéroïde, tangente à sa surface.-, et d'un rayon a très peu différent du rayon du spliéroïde. Alors, si l'on désigne par "V" la somme des molécules de l'ëxcès du sphéroïde sur la, sphère ,. divisées par leurs distances au point attiré; si l'on fixe l'origine des r au centre de cette sphère, et si dm est une de ces molécules; l'intégrale de la fonction (f) prise par rapport au système de ces molécules, pourra être supposée nulle; parce que les molécules dm sont nulles au point de contact, et que leur expression près de ce point:,, a pour facteur, le carré de leur distance à. ce point. L'équation (a) subsiste donc pour ce point. Relativement à la sphère tangente, on a
en supposant donc que V «prime- la somme de toutes les molécule» du sphéroïde, divisées par leur» distances au point attiré, ce qui donne V'= V-f- V"; on aura en supposant ta pointaltiré , au point de contact de la sphère et du sphéroïde ,
fW; e»>
c'est l'équation que j'ai donnée dans le n" 10 du troisième livre. Ici l'origine de restau centre de la sphère tangente. Fixons cette origine, à un point quelconque, trè» proche du centre do gravite du-sphépoïde, et désignons par -f* */) le rayon.de ce sphéroïde, a étant un très petit coefficient constant L'attraction de ce- spliéroïde dirigée vers l'origine
-gr)» et* >1 est facile de toit qu'elle est aux quantités près
de l'ordre <t ( , la même, quelle que soit cette origine, pourvu, que, mile origine ne s'écarte que d'une quantité. de. ltadce a, du centre de gravité du sphéroïde ; car cette attraction composé* avec, un# force qui lui est
perpendical«we«t de J'ordrc «produit la pesanteur totale, ddtot elle ne diffère par conséquent , que d'une quantité de Tordre *V Ainsi, l'équation précédente (6) subsiste en fixant l'origine de r, à un point quelconque situé fort près du centre de gravité du sphéroïde.
Telle est la démoiistmtion que j'ai donnée -de cette équation , dans l'endrqit cité de la Mécanique céleste. Quelques géomètres ne l'ayant pas bien saisie, l'ont jugée inexacte. Lagrattge, dans le tome VI II du Journal de l'Ecole Polytechnique, a démontré cette équation, par une analyse à peu près semblable à celle qui me l'avait fait découvrir (Mémoires de l'Académie des Sciences, année 1775, page 83). C'est pour simplifier cette matière, que j'ai préféré de donner dans la Mécanique céleste, la démonstration précédente.
Si te point attiré est élevé d'une quantité eur/ au-dessus de la surface du sphéroïde ; V étant de la forme | «H , il ne variera par ce dé-
placement du point, et en négligeant les quantités de l'ordre et*, que de la quantité — | La différence partielle a variera de
Ja quantité g w. a*. <tjr'\ la variation du premier membre de l'équation (b) sera donc vn .a» .ajr' et oette équation deviendra
Mais l'équation (a) subsistera toujours; parce que V" étant de l'ordre «, ce déplacement ne peut y produire que des quantités de l'ordre <t'. Cela posé , si l'on substitue dans les équations (2) et (3) , t -+- &y -+- &j\
au lieu de r, et si dans l'équation (3), on substitue — £ V" au lieu de i «t'es deviendront, en négligeant les termes de l'ordre
const. = «jr+ «r —77^1 '/P d \-T- H- — - H 7 H etc )
a8 MÉCANIQUE CÉLESTE,
+ ^ + ^ + c,c.) + lV" + ^>.(^-^).^./p.«<. a '
+ 4<-(Y- + ^ + ^ + ctc). (5)
Si l'on ajoute cette dernière équation, à la précédente multipliée par | irfp.d.a* ; on aura
^=const.— 2a^.(7-fy').yp.rf.a , 4.2a?r./p.rf.(fl 4 Y t0 +a 5 Y (,) 4-a*Y (î) + etc.)
-f- m ./ + ^ «<P • - 3) . |t • fp . • a'. (G) Si Ton suppose la Tèrre homogène , ou p constant, on aura
p 3= constante — aaw . ( p — 1 ) ./+ ^ a? . 0 . \tt . p ;
et l'on doit observer que | ?r .p est à très peu près la pesanteur à l'équa-
teur. On a donc dans le cas où la mer a la même densité que le sphéroïde terrestre , ce qui donne pc^= 1 ,
P étant la pesanteur à l'équatcur.
Cette valeur de p subsisterait encore, dans le cas où des plateaux d'une densité quelconque, et de hautes montagnes recouvriraient le» continens. Ces corps ajouteraient à l'équation (1), un terme Y'" qui serait la somme de leurs molécules divisée par leurs distances respectives au point attiré. En supposant ce point à la surface de la mer, on aura
Ainsi Y f " disparaîtrait de l'expression de la pesanteur p, par le même procédé qui a fait disparaître Y" de cette expression : p aurait donc encore la valeur précédente : le terme Y'" changerait donc la figure de
