LIVRE XI

la mer, sans altérer lu loi de la pesanteur. Il est bien remarquable que cette loi soit indépendante de cette figure qui peut avoir une infinité de formes, dépendantes de la manière dont la mer recouvre en partie, le sphéroïde terrestre, et des irrégularités de la surface des conlinens.

3. Pour déterminer la figure de la mer, lorsque celle du sphéroïde terrestre est donnée ; la méthode la plus simple consiste à ordonner les approximations suivant les puissances du rapport de la densité de la

mer, à la moyenne densité de la Terre, rapport égal à — à fort peu près.

Nous allons donc considérer d'abord, la figure de la mer, en négligeant ce rapport, ou en supposant que la mer est un fluide infiniment rare. Cela revient à négliger dans l'équation (4), les termes qui ont f f.d.a 3 au dénominateur , et qui n'ont pas p au numérateur. Celle équation donne alors en n'y négligeant, pour plus d'exactitude, que le terme dépendant de V", '

^=con S ».~ a/ + 77 - CT .y P .rf.(-3-4- — + — + etc. )

En substituant Y^-f-Y^-f- etc. pour}-, et Y' w 4-Y' (,) -f Y'W+eic. pour^ , et comparant les termes semblables; on aura généralement

>> ai 1 .ff .d.a*' 21 : + 1 .ff .d.à 1

Dans le cas de * = 2, il faut ajouter au second membre de celte équation , le terme — ^ . (p* — 0.

L'équation (6) dans laquelle rien n'est négligé , donnera ensuite la pesanteur p à la surface de la mer.

Les expériences du pendule font voir que Y (0 , \ (,) , Y (4> , etc., sont des quantités très petites relativement à Y c,) , et que cette dernière fonction

se réduit à fort peu près à — h . (ji m — g) , h étant une constante ; ce

qui donne aux couches du sphéroïde terrestre, la figure d'un ellipsoïde de révolution. Examinons donc ce cas particulièrement. On a alors par

3o MÉCANIQUE CÉLESTE,

ce qui précède, en Taisant Y w égal à — fc^—l),

Ainsi en faisant

on aura

c^= */ — ah'ff ;

/étant une constante. 11 est facile de voir que h' serait nul si, la mer étant anéantie, la surface du sphéroïde était en équilibre, en devenant fluide. Si donc celte surface est moins aplatie que dans ce cas , h' sera positif, et la mer recouvrira l'équateur du sphéroïde. Sa profondeur sera a/— ah' .ft % i et si elle n'a pas un volume suffisant pour recouvrir le sphéroïde entier, elle s'étendra vers les deux pôles, à des latitudes égales. Soit € le sinus de ces latitudes; la profondeur de la mer étant nulle à ces points; on aura

et l'origine des rayons terrestres étant supposée au centre de gravité du sphéroïde terrestre, ce qui rend T c0 et Y* 0 nuls, la profondeur de la mer sera

Le volume de la mer sera ^ttTr.h'â ; ce volume étant donné fera donc

connaître e. l'équation (6) combinée avec l'expression précédente de A', donnera pour l'expression de la pesanteur à la surface de la mer,

P étant cette pesanteur à l'équateur.

Si la surface du sphéroïde a un aplatissement plus grand que celui qui convient à son équilibre, en la supposant fluide; h' devient négatif , et alors, si la mer n'a pas un volume suffisant pour recouvrir le sphéroïde entier, elle se portera vers les deux pôles, et elle formera dcox

mers distinctes dont les masses pourront être dans un rapport quelconque. En faisant h' = — g, g étant positif, la profondeur de la mer boréale sera

ag.Qï— ?)y

c «tapi le sinus- de la- latitude des borda de* cette mer; La profondeur de Ja mer située vers le pefe austral sera

t' étant ce que devient pour cette mer, la quantité t. Les masses des deux mer» seMu* reapaelnemen*

et la pesanteur P à leur surface sera , en désignant par P, la pesanteur aux pôles,

p.{,-.Q^- tt (Â-^)].(i-K)}.

Pour avoir une seconde approximation , il faut déterminer la valeur analytique de la fonction ^ de l'équation (4) , et rajouter ;V

g w.ff.d.cp

l'expression de «y'. Or, on »

* ™" J|/a.(i- coi.y)'

y t étant ce que devient Texpression trouvée par une première approximation pour y\ et d'ans laquelTc on change fi. en et en a»* - ;

et »' étant relatifs au point attirant, tandis que fjt et a» se rapportent au point, attiré, est l'angle compris entre les rayons terrestres menés à ces deux points, en sorte que Ton a

cos y = f*ft' — ft*. V i — .cos (a»'— a»).

JUiûU%ak précédante asLnaiatW. à; uVsw&oe, entière des, coniineoti ut

des îles. Développons le radical

3a MÉCANIQUE CÉLESTE,

suivant led puissances de -. En nommant P w le coefficient de -~dans

ce développement, on aura par le n° a3 du troisième livre, en supposant À = cos y ,