LIVRE XIV

au sphéroïde lunaire, un mouvement moyen angulaire de rotation égal à cette vitesse. Si son grand axe eût été à l'origine, sur le rayon mobile qui joint les centres de la Lune et de la Terre, et qu'au premier instant il l'eût exactement. suivi; il ne s'en serait jamais écarté. Mais s'il y avait eu au premier instant, une très petite différence entre les vitesses angulaires du rayon vecteur et de l'axe du sphéroïde, ces deux lignes se seraient successivement écartées l'une de l'autre; mais à cause de l'extrême petitesse que nou6 supposons à cette différence, l'attraction terrestre tendant sans cesse à ramener l'axe sur le rayon, aurait fini par la diminuer. On voit à priori et un calcul fort simple prouve , que l'axe doit alors osciller sans cesse de paît et d'autre du rayon vecteur dans des limites d'autant plus rapprochées, que la différence primitive des vitesses de l'axe et du rayon aura été. plus petite. La vitesse angulaire de rotation du grand axe ou de la Lune variera donc sans cesse : sa valeur moyenne sera la vitesse moyenne angulaire de révolution de la Lune, dont elle a pu différer primitivement d'une quantité arbitraire, mais extrêmement petite; ce qui fait disparaître rinvraisèmblancc infinie d'une égalité rigoureuse à l'origine.

D'Alembert, appliqua ses formules de la préoession des cquinoxes, à la libratioo, de la Lune. Mais ce grand géomètre qui avait si bien senti l'ujfluèaoe de là rapidité «ht mmivémenfc de rotation de la Terre sur letf imbuvemens de nutatuoo et do b récession de son équateur, ne fit pa&: attention aux changemens que to. lenteur du mouvement de rota tin» de ia Ldne, et surtout Ja cibconsùmcede l'égalitlé de ce métrvetnent à «lui de révolution ,' doivent produire ' dans les bioùvemens de. précession et. de. nutation ; ce Iqui le conduisit a des <' résultat* inexact* ::! • ,'•[:■,>'] J*> m --m p'ïl •>!» m >•': . •!> j >

:L'Académifi dés Science» ayant- proposé pour le SuÇet dû'prli de Mathématiques qu'elle devait décerner en 1764,' là'lhéorie de 'là'tibratiou de U Lune; Lagrange remportalte prix. S» piec* est rëfriarqnable par; une. profonde analyse, et surtout parJ l'union du principe de Dynamique de d'/Uembert avec* le principe des vitesses virtuelles de Jean bewBOAdli 1 ce «ub réduit 1 de; la; manière: la' phi* ^ivcfa^c'et'%iphis siwplo, la recherche (des mouvement dHm éyst^mëdlft oerps-^ A'-Pih'fêgr^ioo. defl,eqnal6oi»;d^i«n telles l aiorsTl'ôbjet «é- IrMécAhiqué' est rempli, ?** l'Ataplyae doit «cbéSerlla solution dés VoWème*!' C'est '<* qu» Lagrange a , fini voir en dfrail dans, sa! Mécanique analytique. Ce

a8a MÉCANIQUE CELESTE,

grand géomètre, dans 6a pièce, détermine d'abord la libratioo de la Lune en longitude. 11 prouve que dans le cas où il y aurait eu à J'orunne une très petite différence entre les mouvemcns de rotation et de révclution de la Lune, l'attraction terrestre a suffi pour établir entre ces uiouvemens une égalité rigoureuse. Cette difienence primitive a Ont naître un mouvement d'oscillation du grand axe du sphéroïde lunaire, dirigé vers la Terre, de part et d'autre du rayon vecteur de la Lune. Lagrange détermine le» lois de ce mouvement, ainsi que les petites inégalités du mouvement de rotation, correspondantes aux inégalités du mouvement de révolution. Passant ensuite à la libration de la Lune en latitude, il donne les équations différentielles de l'inclinaison de 1'équateur lunaire et du mouvement de ses nœuds. Mais ayant négligé en les intégrant, comme on le peut relativement à l'équateur terrestre, les liiflérences secondes, ce qui, par ce qui précède, simplifie considérablement l'intégration de ces équations; il ne put expliquer le phénomène singulier de la coïncidence des noeuds de l'équateur et de l'orbite lunaire : seulement, il trouva que cette coïncidence existe dans un cas particulier qui fait entrevoir sa possibilité dans le cas général. Mais les inégalités arbitraires introduites par l'intégration complète des équations aux différences secondes , peuvent seules expliquer comment, dans le cas infiniment vraisemblable d'une très petite diflerence initiale entre les positioits des nœuds de l'orbite et de l'équateur lunaire, L'attraction terrestre établit et maintient la coïncidence de leurs nœud» moyens. Lagrange, dalis les Mémoires de l'Académie de Berlin pour l'année 1780, reprit la théorie do la libration de ta Lune, au moyen d'une très belle analyse : il expliqua de la manière la plus heureuse la coïncidence des nœuds moyens de l'équateur et de l'orbite lunaire, et il détermina la loi des oscillations du nœud vrai de l'équateur lrtnaire, autour de son nœud: moyen.

U restait, pour Compléter la théorie de la Lune r à déterminer l'influence des grandes inégalités séculaires des mouvemens de la Lune , sur les phénomènes de sa libration : c'est ce que j'ai fait dans le chapitre II du cinquième Livre. Les inégalités séculaires de son mouvement de Dévolution, s'élevant à plusieurs cirée afcrrnces, devraient à la longue, .présenter a la Terre toutes les parties de sa surface. Mais je démonte* , que l'attraction de la Terre sur le sphéroïde lunaire donne au mouvement de rotation de oe sphéroïde, les inégalités

UVIŒX1V. *S3

séculaires de son mouvement de révolution, et rend invisible à jamais, l'hémisphère opposé à celui qu'elle noas présente. Je ibis voir encore que cette même attraction maintient les mêmes inclinaisons moyennes de l'équateur et de l'orbite lunaire sur l'écliptique vraie et la coïncidence de leurs nœuds, au milieu des mouvemens séculaires de cette écliptique. Ce résultat est analogue à celui que l'attraction du $oleil et de la Lune sur le sphéroïde terrestre produit, en réduisant au quart environ, les variations séculaires de l'obliquité de l'écliptique et de la longueur de l'année, qui auraient lieu par l'actiou des planètes, si la Terre était sphérique , et qui deviendraieut insensibles,, si le mouvement des équinoxes était aussi rapide que celui des nœuds de l'orbite lunaire.

En discutant avec un soin particulier les inégalités de la libration en latitude, M. Poisson a reconnu une petite inégalité qui dépend de la différence en longitude^ du noeud, et du périgée lunaire J JJp Jipuvtd examen de la théorie de la libration, m'a (hit voir ensuite que rien de sensible n'avait été omi&; en «prtet que cette ihéwiç ue laisse maintenant à désirer qu'une longue suite d'observations au moyen desquelles on puisée déterminer avec précision, te* quantité* inconnues que cette théorie renienne, et suttoui bjs rapports de» motaaent dHrtertle des. trow axes principaux du sphéroïde lunaire. C'est dans cette Vue, que j'avais invité les astronomes de l'Observatoire royal, à vouloir bien entreprendre cette suite d'observations, et a la* comparer aux formules de la théorie. M. Nicollet a exécuté ce travail important CD y employant 174 observations faites par loi et par MM. Bouvard et Arago. L'inclinaison de l'équateur lunaire à l'écliptique qu'il trouve en degrés sexagésimaux de i*28'45", et qui ne diffère que de i5" de celle que Mayer avait trouvée, est une donnée précieuse en ce qu'elle détermine avec beaucoup d'exactitude,, les rapports des momens d'inertie du plus grand et du plus petit axe du sphéroïde lunaire. La plus sensible des inégalités de la libration, est l'inégalité de. }a libraftion en longitude, dépendante du sinus de l'anomalie moyenne du Solejl. M. SiwUet trouve en secondes sexagésimales , 4'4 8 ">7 P our le coeflfàent de cette inégalité qui donne le rapport des momens d'inertie du plus grand axe et de l'axe moyen du sphéroïde lunaire. Mais pour que l'on puisse compter sur ce rapport, il feu* un-nombre pW grand -e*ieore -d-'observations.

Remarques sur la théorie de la lifrration de la. Lune.

5. Les formules que j'ai données dans le chapitre II du cinquième Livre, me paraissent laisser peu de chose à désirer. Il y a quelques fautes d'impression , dont je donnerai X errata à la fin de ces remarques.

L'expression de la libratfou en latitude, renferme une petite inégalité qui pouvant devenir sensible dans des observations exactes, mérite d'être considérée. Pour la déterminer, nous transporterons à la Lune, les expressions de dp, dq et dr du n" a ; et nous observerons que l'inclinaison de l'équateur lunaire .à l'écliptique, étant très petite, nous pouvons négliger son carré et son produit par le carré de l'inclinaison de l'orbite lunaire. Cela posé, oh aura par le n' a,

Adq + (C — B) .7,r^ = ^#(C— B)sin(u — !p)[fl.sinu-f->.sinv],

Hdr -f-(A-C) .^/s=c?t^(A~rC)cos(w — p)[Ô.sinw-f->.sin «/].

L est ici la Terre, u est sa longitude vue de la Lune et rapportée au nœud de l'orbite lunaire, en sorte que y.sinu est sa latitude vue pareillement de la Lune. Soit

On aura par le n # a ,

|»ai ic 11 -a ,

dç d>\>

Les équations différentielles précédentes relatives à dq et <£r, deviendront, en y substituant m pour p, et en négligeant les différentielles

s 2~ et s' ^ , ce que l'on peut faire ici,

dis' (A. + B-Ç) ds (C-B) ,

^ 3L .(Çz^.sin^^^.sinCu-^-h, . cos (« ^ f ) -f, 5, . «in v] ,