LIVRE XV

lion étant rapportée .après le» difféfentiations , à la moyenne distance du mobile, à l'origine de la force centrale. .

Newton applique son procédé, au cas où la force centrale étant réciproque au carré de. la distance, une action étrangère la diminue d'une quantité proportionnelle au rayon vecteur. En supposant cette

quantité ^ de la force centrale dans les moyennes distances, ce qui

a lieu â fort peu près, relativement à l'action du Soleil sur la Lune, décomposée suivant le rayon vecteur lunaire ; il trouve le mouvement de l'apogée, plus petit de moitié que celui de l'apogée de la Lune. C'est ce. qu'une première approximation donna ensuite aux géomètres qui appliquèrent, les premiers , l'analyse ù la théorie de la Lune. Mais il est remarquable que Newton , dans la proposition IV du troisième Livre des Principes, cherchant à corriger la tendance de la Lune vers

la Terre, de l'effet de l'action solaire, suppose cet effet égal à ^- de la pesanteur de ce satellite, c'est-à-dire, tel qu'il résulte du mouvement observé de l'apogée lunaire.

Newton transporta facilement ses résultats, au mouvement de deux points matériels A et B qui s'attirent en raison de leurs masses et suivant une fonction quelconque de leur distance mutuelle. Il avait établi que le mouvement du centre de gravité d'un système de corps ne reçoit aucun changement par leur action réciproque j en imprimant donc à ces points une vitesse égale et contraire à la vitesse initiale de leur centre commun de gravité, ce qui ne change point leur mouvement relatif; ce centre devient immobile. Le point A est attiré vers lui, par l'attraction du point B. En substituant ainsi dans l'expression de l'attraction de ce dernier point, au lieu de la distance mutuelle des deux points , le rayon vecteur mené du centre de gravité, au point A, et multiplié par le rapport de la somme des masses A et B à la masse B ; le mouvement de A autour du centre de gravité , sera ramené au cas d'un point attiré suivant une fonction du rayon vecteur, vers un centre de forces immobile.

Par la nature du Centre de gravité, les deux points A et B sont toujours avec lui, sur une même droite; et leurs distances à ce centre sont en raison constante soit entre elles, soit avec leur distance mutuelle. De là il suit que ces points décrivent dans le mémo temps > des

398 MÉCANÎQUË CÉLESTE,

courbes semblables , autour de leur centre de gravité" èt l'un autour de

l'antre suppose immobile. Le cas de deux poiab matériels est celui de deux sphères dont les molécules s'attirent en raison des masses et réciproquement an carré des distances; Newton ayant démontré qu'alors ces corps s'attirent, comme si leurs masses étaient réunies à tour* centres respectifs. Cette propriété très remarquable de la bu de la nature, contribue à la simplicité des mouvemens célestes ; pan* <p* le Soleil, les planètes et le, satellites U l* peu prè sphérjquesj leurs mouvemens ne sont que très peu troublés par leurs figures.

Le système de tous cçs corps est constitué de manière que la masse du Soleil surpasse considérablement celles des planètes - f en sorte que l'on peut f dans une première approximation , négliger, aveç Newton, leur action les unes sur les autres et sur le Soleil. Alors elles obéissent exactement aux loi. de Kepler. Le système d'une planète et de ses satellites est pareiJUtement constitué de manière que la masse de la planète surpasse considérablement celles de ses satellites. En négligeant donc dans une première approximation, leur action les uns sur les autres ét sur la planète, ils décriraient autour d'elle, des orbes rigoureusement çlliptiques, sans la force perturbatrice du Soleil. Heureusement, la distance de la planète au Soleil étant considérablement plus grande que celle des satellites à la planète, cette force est très petite. Si cette distance était infinie , le Soleil agissant également sur la planète et sur ses satellites, ne troublerait point leur mouvement relatif; la différence de ses actions sur ces différens corps , est donc très affaiblie par sa grande distance è la planète, et die altère peu ce mouvement. Newton établit que le centre de gravité du système de la planète et de ses satellites décrit à très peu près , un orbe elliptique autour du Soleil , et il fait voir que la pesanteur du satellite vers la planète, n'est que très peu changée par Faction solaire : elle n'est diminuée que d'un 36o"* nu plus pour la Lune. En négligeant donc cette action et l'action mutuelle des satellites , chacun d'eux peut être censé décrire un orbe elliptique autour de sa planète.

Newton conclut de ce résultat, les rapports des masses des planètes accompagnées de satellites, à la masse du Soleil. Si l'en augmente la distance moyenne du satellite à sa planète, en sorte qu'elle soit égale * la moyenne distance de b planète nu Soleil; le carre' da

t . LiVJlE X.V* 099

sera,, parla

loi de Kepler » augmenté daas le rapport du cube de la Seconde de Cès distances au cube de la première. Mais il résulte des théorèmes de Huygens sur la force centrifuge, que les masses do la planète et du Soleil sont réciproques aux carrés des temps des révolutions des corps qUi circulent autour de chacun d'dux à la mémo distance. Du là, il est facile de oonclure que le rapport de la masse de la planète à celle du Soleil, est égal a Une faction dont le numérateur ost le produit du cube de la moyenne dit, tance du satellite à sa planète , par le carré du temps de la révolution de la planète , et dont le dénominateur est le produit du cube do la moyenne distance de la planète au Soleil par le carré du temps de la «évolution du satellite. Nu v, ton détermina de bette maniée, le* rapporte des masses de Jupiter, de Saturne et de U Terre à la masse du Soleil. U masse étant égale à la densité multipliée pat le volume, les densités de ces quatre corps sont comme leurs masses divisées par lus cubes de leurs diamètres apparens vus % de la même distance , et les pesanteurs à leurs surfaces sont comme leurs masses divisées par les carrés de ces diamètres. Newton a con-

ijotiii t.| w £ y ilt- 968 i 1 îii il i tj 1 1 t*s .

L'une des plus heureuses applications du prinoipe de la pesanteur universelle, est celle que Newton en fit aux comètes. Ges astres se montrent dans toutes les régions du «ml < ils ee meuvent dans tous tas sens et d'une manière très compliquée, et finissent spcès quelque temps | par disparaître. On avait essayé Vainement aVaut Newton , de déterminer la loi de leurs moUvemetkSt Ce grand géomètre considéra que les comètes devaient être soumises, eonmae les planètes et les satellites, à l'attraction du Soleil ; et qu'elles décrivaient par conséquent autour de lui, des orbes elliptiques, avec la différence que n'étant visibles pour bous que dans la partie de leurs orbes, la plus voisine «du Soleil ; ces orbes, au lieu d'être presque circulaires , étaient fort Btongés et pouvaient même être des paraboles eu dos hyperboles. Pour vérifier ce beau résultat, il fallait le comparer aux observations; mais cette comparaison offrait des difficultés. A la vérité, te grand arotajBament des ellipses décrites par les comètes permet, du moins dans «BK première approximation, de considérer la partie visible de ces ellipses , connue «n arc de parabole; ce qui aimplifie le problème :

3oo MÉCANIQUE CÉLESTE,

il reste cependant encore très difficile. Newton le résolut par une méthode dans laquelle le génie inventeur ne brille pa« moins que dans ies autres parties de l'ouvra»e des Principes. Ce grand géomètre appliqua sa méthode à la fameuse comète de 1680, qui parut pendant un intervalle de temps considérable, et qui reparaissant après avoir été perdue dans les rayons du Soleil , fut regardée par divers astronomes comme fbrmantdeux comètes distinctes. Newton fit voir qu'elles étaient identique* , et il représenta toutes les bonnes observations de la comète, avec une précision qui ne laissait aucun doute sur la vérité, de sa théorie du mouvement de ces astres. Dans la troisième édition dé son ouvrage, Newton n'ajouta rien à sa méthode. Seulement, il en présenta de nouvelles applications faites principalement par Ilalley qui soumit à cette théorie, les observations de vingt-quatre comètes parmi' lesquelles il reconnut l'identité des comètes de i53i i 1607 et 160*3. 11 en conclut que cet astre décrit un orbe elliptique dans une période d'environ 75 ans, et qu'il devait reparaître à la fin de 170*8 ou au commencement de 1759; ce que l'observation a confirmé. La même théorie a représenté exactement les observations de toutes les comètes qui ont paru depuis Newton; en sorte que chaque apparition de ces astres a fourni une nouvelle preuve de cette admirable théorie et du principe de la pesanteur universelle qui en est la base.

Plusieurs grands géomètres se sont occupés depuis Newton , du problème de la détermination des orbites des comètes par les- observations. Ils sont parvenus sur cet objet, à des résultats intéressa n s parmi lesquels on doit distinguer l'expression élégante et simple que Lambert a donnée, du temps employé à décrire -un arc parabolique , en fonction de cet arc et de la somme des rayons vecteurs extrêmes : expression qu'il a étendue aux arcs elliptiques, et qui est démontrée dans le n* 37 du second Livre. >...,'. >■

Les diverses solutions de- ce problème employaient à la reeherebe des premières valeurs des élémens,- trois observations assez rapprochées pour qnc l'on pût se permettre de négliger la troisième puissance de l'intervalle de temps qui sépare les deux observations extrêmes. 11 me parut qu'au lieu de faire porter l'approximation sur les valeurs analy> tiques, il serait à la fois plus exact et plus simple d'employer une analyse rigoureuse, et de ne faire porter l'approximation que- sur les données des observations. C'est ce que j'ai fait par la méthode exposée dans les