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n»* 3i et suivans du second Livre. Les données dont je me sers, sont la longitude et la latitude de la comète à l'époque de l'observation moyenne, et leurs différences premières et secondes, divisées par les puissances correspondantes de l'élément du temps. Au moyen de ces données, je détermine rigoureusement par la seule considération des équations différentielles du mouvement de l'astre, sa distance périhélie et l'instant de son passage par le périhélie. Cette méthode a l'avantage de pouvoir employer pour déterminer les données, toutes les observations laites dans l'intervalle des observations extrêmes ; car si cet iutervalle est peu considérable, on peut étendre sans erreur sensible , les mêmes données a ces observations', et former ainsi pour les obtenir, deux fui» autant d'équations de condition qu'il y a d'observations. Je corrige ensuite par trois observations éloignées entre elles , la distance périhélie et l'instant du passage, directement et sans avoir besoin de connaître le* autres élémens de l'orbite. Persuadé que l'analyse , lorsqu'elle est convenablement appliquée , peut toujours fournir aux astronomes les méthodes les plus faciles et les plus abrégées pour les calculs numériques ; je me suis étudié à leur en offrir un exemple dans ce problème, l'un des plus difficiles de toute l'Astronomie. Les nombreuses applications qui ont été faites de cette méthode, prouvent son utilité.

Newton n'a point considéré les perturbations que l'action des planètes sur le Soleil cl sur elles-mêmes produit dans leur mouvement elliptique. Seulement, il fait voir qu'en considérant le mouvement autour du Soleil, de deux planètes qui s'attirent réciproquement au carré de la distance, et qui sont attirées suivant la même loi; le mouvement elliptique de la planète inférieure et la proportionnalité des aires que son rayon vecteur décrit autour du Soleil seront moins troublés, si cet astre obéit à l'attraction des planètes, que s'il est immobile. Il observe encore que l'action de Jupiter sur Saturne dans la conjonction de ces planètes, étant à l'action du Soleil sur Saturne, dans le rapport de l'unité à an , elle ne doit point être négligée. « De la vient, dit- il, v que l'orbe de Saturne est dérangé si sensiblement dans chaque con- » jonction avec Jupiter, que les astronomes s'en aperçoivent ; » cependant, la théorie analytique des mouvemens de ces deux planètes, qui représente exactement toutes les observations, nous montre que le dérangement de Saturne dans sa conjonction avec Jupiter, est presque

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insensible. Le dérangement correspondant de Jupiter est environ, sa fois plus grand, quoique l'action de Saturne sur Jupiter, ne- soit à la pesanteur de Jupiter sur le Soleil, que dans la rapport, de VunièéàSoo. Cette remarque déjà laite par Euler, fait voir qu'il ne faut adopter qu'avec une extrême réserve, les aperçu» le» plue vraisemblable»,, tant qu'ils ne sont point vérifie» par, de* preuves décisives».

Depuis la publication de l'ouvrage de* Principes^ jusqu'aux premiers travaux d'Euler sur les perturbations des planète», les gé«inètres n'ont rien ajouté de remarquable aux grande» découvertes continuées dans cet Ouvrage. Ils ont traduit en analyse, les démonstrations de IMewton qui, probablement» était parvenu par cette méthode, à. ses résultats que s» grande prédilection pour la synthèse lui. a fait démontrer syntbéti-

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niennes, ont préparé celles qu'Eoier et ses contemporains en. ont faites à la théorie dea perturbations des mouvemens célestes- Les recherches sur le Calcul intégral et sur la Mécanique,, dont le*géomèlres.s'élaient fort occupés dans l'intervalle dont je viens de parler, ont surtout contribué aux progrès, de cette théorie qui leur offiaaiti les applications les plue importantes do L'analyse infinitésimale, sans laquelle il ont été impossible de résoudre les questions difficiles du système du monde. C'est principalement dans la considération des équations différentielles et dans Leur intégration, que réside la puissance de nette analyse. Newton ne paraît pas s'être occupé de leur calcul si fécond en résultats, surtout depuis son extension aux équations à différences partielles. C'est à Leibnitx et aux Bemoullt qu'il doit ses premiers progrès» Ce» illustre» géomètres n'adoptèrent point la découverte de la grswitation universelle, à sa naissance ; mais leurs recherches perfectionnées, es appliquées par Leur* disciples, à, cette découverte, L'ont élevée au plus liaul point de perfection et de certitude.

Si l'on, conçoit un système de corps sphériques dont boules les molécules s'attirent proportionnellement àkuts masses, et réciproquement au carré de la d» tan ce ; on peut rapporter chacun, de ces,eosps, à trois axes fixe* perpendiculaires entre eux r et décomposer parallèlement à ces axes, les attractions qu'il éprouve de la part des autres, corps. En égalant ensuite les différences secondes des coordonnées, divisées par le carré de l'élément du temps, supposé constant, à ces attraction» ainsi décomposées; on aura les trois équations dinerentielles dn second ©vdrey

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qui détermiroent le mouvement du corps. Chaque corps du système fournit trois -équation» semblables, en sorte que le fcothbre de ces équations est triple de celui des corps. Leurs intégrales complètes renferment donc si* fois autant d'arbitraires, qu'il y a de corps. Ces constantes sont déterminées par les coordonnées initiales de chaque corps, et par ses vitesses initiales suivant ces coordonnées.

On a presque toujours besoin de rapporter tes corps du système, à un corps principal. Il suffit pour cela , de retrancher les équations différentielles de son mouvement suivant chaque coordonnée, des équations différentielles correspondantes du mouvement des autres corps dont on aura ainsi les équations différentielles relatives a leurs mouvemens autour du corps principal.

On n'a pu obtenir jusqu'ici , q*>e sept intégrales des équations différentielles du mouvement du système. LeS trois premières sont finies et ne sont qu'une traduction du beau théorème de Newton, sur le mouvement du centre de gravité d'un système de corps qui n'éproUvcnt point d'actions étrangères. Les quatre autres intégrales données par les principes des aires et des forces vives, sont différentieHes du premier ordre : elles sont une générahsatioa de la loi des aires proportionnelles aux temps , et de l'expression du carré de la vitesse, que Newton a trouvées dans le mouvement du système de deux corps. Le problème de ce mouvement est ainsi ramené à l'intégration d'équations différentielles du premier ordre, qu'il est facile ensuite d'intégrer par tes quadratures. C'est ce que Mevfton a développé avec une grande élégance, sous une forme synthétique. Mais, dans te cas d'un plus grand nombre de corps, te problème présente d'extrêmes dinïcultcs. Heureusement la constitution du système solaire apporte des simplificauom considérables

vergentses.

Les planètes, comme nous l'avons déjà dit, se meuvent autour du Soleil, danB des orbes peu excentriques et peu inclinés à l'écliptique. De plus, leurs masses sont fort petites relativement a te masse de cet astre. En négligeant donc leur action sur te Soleil et sur elles-mêmes, on a par une première approximation, le mouvement elliptique dont Newton a développé tes lots. Si l'on considère ensuite cette action, en négligeant les carré» et les produits des masses planétaires; on a une seconde approximation qui peut être ordonnée suivant tes puissances

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et les produits des excentricités et des inclinaisons des orbites. En considérant de la même manière , les carrés et les prodoits des masses des planètes; on obtient une troisième approximation, et ainsi de suite. Le mouvement des satellites autour de leur planète, offre des simplifications semblables. L'action perturbatrice du Soleil est toujours peu considérable par rapport à l'action directe de la planète sur ces corps, quoique l'action du Soleil sur eux soit fort grande. Mais leur distance à la planète étant très petite relativement à la distance de la planète au Soleil, cet astre attire à peu près de la même manière, la planète et ses satellites; en sorte que la force perturbatrice do leurs mouvemens relatifs, qui n'est que la différence de ces diverses attractions du Soleil, est fort petite par rapport à l'attraction de la planète sur ses satellites. Malgré toutes ces simplifications, les divers problèmes de la théorie des perturbations des p/anètes et des satellites, présentent de grandes difficultés dont la solution exige des considérations délicates et minutieuses, soit pour choisir les coordonnées qui doivent donner dans les divers cas, les approximations les plus convergentes; soit pour démêler dans le nombre infini des inégalités, celles qui, quoique très petites dans les équations différentielles, acquièrent par les intégrations, de grandes valeurs, et donnent ainsi la cause et les lois des singularités observées par les astronomes, dans les mouvemens célestes.

C'est à la première pièce d'Euler, sur les mouvemens de Jupiter et de Saturne, qu'il faut rapporter les premières recherches sur les perturbations des mouvemens planétaires. Celte pièce couronnée par l'Académie des Sciences en 1748 , fut remise au secrétariat de cette Académie, le 37 juillet 1747» quelques mois avant que Clairaut et d'Alembert communiquassent à l'Académie les recherches analogues qu'ils avaient faites sur le problème des trois corps , qu'ils nommèrent ainsi parce qu'ils avaient appliqué leurs solutions au mouvement de . la Lune attirée par le Soleil et par la Terre. Mais les différences de leurs méthodes a celles d'Euler, prouvent qu'ils n'avaient rien emprunté de s» pièce. Elle fut imprimée en 1 749, année où parut l'ouvrage de d'Alembert sur la précession des équinoxes , et qui par là , est remarquable dans l'histoire de la Mécanique céleste.

Euler, ainsi que les géomètres qui se sont occupés les premiers de la théorie des perturbations, a choisi pour coordonnées , celles que les astronomes employaient alors dans les Tables astronomiques, savoir la

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longitude de la planète comptée d'une droite invariable prise sur un plan fixe, son rayon vecteur, l'inclinaison de l'orbite au même plan, et la longitude de somwBttd ascendant. Mayer a le premier introduit directement dans les Tables, la Jatitude, an lieu de ces deux dernières coordonnées i ce qui est plus commode pour le calcul des perturbations, et pour les calculs astronomiques. Euler donne entre les quatre coordonnées dont il fait usage «t le temps dont il suppose l'élément constant, quatre équatioDS différentielles : 'es deux premières relatives à la longitude de la planète et à son rayon vecteur projeté sur le plan fixe , sont différentielles du second ordre. Les doux autres équations sont relatives à l'inclinaison de l'orbite et à la longitude de son nœud : elles sont différentielles du premier ordre. Euler ne donne point dans sa pièce, l'analyse qui l'a conduit à ces équations. La commission nommée par l'Académie pour juger cette pièce, et dont Clairaut et d'Alembert étaient membres, persuadée que la formation d'équations différentielles propres aux approximations et aux usages astronomiques, était l'un des points les plus intéressans de la théorie des perturbations , témoigna ses regrets de ce que l'auteur se fût contenté de présenter ces équations sans les démontrer. L'analyse par laquelle il y est parvenu, est exposée dans deux de ses Mémoires dont le premier parut en 1 749, dans les Mémoires de l'Académie de Berlin pour la même année : le second parut en 1750 dans le volume des Mémoires de l'Académie de Pétersbourg , pour les années 1 747 et 1 748. On y voit que le procédé d'Euler, consiste à transformer les équations différentielles du second ordre, relatives aux coordonnées parallèles à trois axes fixes perpendiculaires entre eux, en quatre autres qui se rapportent aux coordonnées précédentes ; et a combiner ces equatmns .différentielles ainsi transformées, de manière à obtenir les équations différentielles qu'il a présentées dans sa pièce. Le premier des deux Mémoires cités, est surtout remarquable en ce que ce grand géomètre y parvient aux équations différentielles du premier ordre, de l'inclinaison et de la longitude du nœud, en faisant varier les constantes arbitraires qui expriment ces, deux élémens dans l'orbite invariable : c'est le premier essai de la méthode de la variation des constantes arbitraires.

Euler considère d'abord les perturbations indépendantes des excentricités et des inclinaisons. Pour cela, il développe les forces perturbatrices, en sinus et cosinus d'angles croissons comme le temps. Mais ce développement sans lequel la formation des Tables astronomiques des

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planètes devenait impossible, présentait ime difficulté que ce grand géomètre a très heureusement surmontée. Elle consiste à développer les pausanecs du radical qui pk prime Ih distance mutuelle <les deux planètes, dons nn«' série d'angles multiples de leur élongnlion. Enler donne des expressions élégantes des divers termes de ce développement , et de phi6, une relation très simple entre trois termes consécutifs , au moyen de laquelle on peut facilement rond tire des deux premiers termes , tons les suivans. 11 fait la remarque importante, que cette série, quoique peu convergente pour Jupiter et Satnrrie, le devient beaucoup par les diviseurs que ses divers termes acquièrent en vertu des intégrations.

Etder ne considère dans sa pièce, que les perturbations du mollement de "Saturne par l'action de Jupiter. Il suppose d'abord les deux orbites , dans un même plan , et il détermine les perturbations du rayon vecteur et de la longitude, en faisant abstraction des excentricités des orbite*. Les résultats auxquels il parvient , sont peu différais de ceux que j'ai donnés dans le sixième Livre. Il considère ensuite les inégalités dépendantes des excentricités des orbites. Ici , de graves erreurs de calcul qui ne tiennent point n sa méthode /rendent ses résultats inexacts. Les deux seules inégalités de ce genre, qu'Euler détermine et qui sont en effet, les plus grondes de cet ordre , ont pour argument ; la première, l'élongation de Saturne à Jupiter , moins l'anomalie de Saturne; la seconde , le double de cette élongation , moins l'anomalie de Jupiter. Il trouve à cette dernière inégalité , un signe contraire à son véritable signe. La comparaison des observations avec sa formule de la longitude de Saturne j lui fit voir qu'elles s'en écartent considérablement, mais qu'elles s'en rapprochent beaucoup , si l'on change le signe de cette inégalité. Soupçonnant alors qu'il s'était trompé dans son calcul, il le revit, mais sans en reconnaître l'erreur ; et il en conclut que la loi nevrtonienne de l'attraction réciproque au carré des dislances, devait être modifiée. Dans le même temps, Clairaut tira la même conclusion, en appliquant l'analyse différentielle au mouvement de l'apogée lunaire. Mais cet illustre géomètre ayant porté plus loin les approximations, reconnnt bientôt que la loi newtonienne donne le véritable mouvement de cet apogée. Dès lors tous les géomètres et Euler lui-même admirent celte loi sans aucune restriction , quoique plusieurs phénomènes astronomiques , tels que les grandes irrégularités de Jupiter et de Saturne, et l'aecélérutiou du moyen mouvement de la Lune, leur parussent inex-