LIVRE XV

pticable» en. vertude cette loi : piuUit que de la modifier, ils préférèrent de recourir a des causes étrangères.

Euler détermine le mouvement de l'aphélie de Saturne^ mais sa fermule est inexacte. En considérant les inégalités dépendantes de l'excentricité de L'orbite de Jupiter , l'intégration des équations diûcrentieLLes lui donna une inégalité eu Longitude, dont le coefficient croît proportionnellement au temps r et dont l'argument est la distance de Saturne à l'aphélie de Jupiter. L'apparition de cet arc de cercle l'embarrassamais dans un supplément à sa pièce, il reconnut que cette iuégalité atteignant squ maximum , dans le même temps à peu près, que l'équntion du centre de Saturne ; elle pouvait être représentée par une diminution séculaire de l'excentricité de l'orbite de cette planète. On verra bientôt par quel moyen ce grand analyste a ftit disparaître cet arc.

Enfin , Euler détermine les variations du nœud et de l'inclinaison de l'orbite de Saturne, sur l'orbite de Jupiter supposée fixe. Il fait voir que r inclinaison moyenne reste constante, mais que le nœud rétrograde sans cesse , et il donne l'expression exacte de ce mouvement rétrograde. En transportant ses- formules au mouvement de l'orbite terrestre produit par l'action de Jupiter, il en coudai lu variation correspondante de la latitude des étoiles; et il en forme une Table dont l'argument est la longitude de l'étoile. Ce grand géomètre n'ayant point eu égard à l'action de Vénus dont l'influence sur ce pliénomène est plus, grande que celle de Jupiter, sa table est incomplète y maie elle est la première de ce genre.

Celte pièco d'Euler «tant le premier pas que Ton a fait dans la théorie des pertinbation* planétaires, j'ai» cro devoir en damier une analyse étendue. L'autour y a tracé la route k pra* directe et la plu» simple pour arriver a*rx divers résultat» de cette théorie. 11 a surmonté' par sua génie et par son profond savoir en analyse-, ' àt» obstacles, qui dès lès premiers pas, auraient arrête la plupart des géomètre». Enfin , il a donné les. formules de^ inégalités périodiques et séculaires <\n nmw veinent des planète*, dont plusieurs sont fautives; rmi* qu'il serait liicile de rectifier ensuivant ses méthodes analytique*-.

L' Académie , en couronnant la> pièce dont je viens d« parler , «t vou~ lant donner- rr la>t)téorie dont elle est l'objet , une' plus grande pertéctaon; proposa; cette théorie pour- le sujet du prix' de» MaUtéfHutiqaes qu'elle devait décerner en 175* Aucune pièce digne dw pri» ne loi

3o8 MECAMQIE CÉLESTE,

étant parvenue, elle remit le même sujet pour le prix 4e l'antiée î^a, qui fut adjugé à une seconde pièce d'Euler. Ce grand géomètre part des équations différentielles de sa première pièce, mais il les transforme en d'autres dans lesquelles l'élément de l'élongation de Saturne à Jupiter est supposé constant. II considère simultanément les mouvemens des deux planètes, et il détermine leurs inégalités indépendantes des excentricités. Passant ensuite aux inégalités dépendante des excentricités, il cherche à obtenir des intégrales sans arcs de cercle, et pour cela, il emploie un moyen très ingénieux et, peut-être, le plus direct et, le pins simple que l'on puisse imaginer. On sait que si l'on néglige le carré de L'excentricité, la partie elliptique du rayon vecteur d'une planète , se réduit au produit pris négativement de l'excentricité par le cosinus de là distance Je la planète à son aphélie. Euler conçoit dans le rayon vecteur de Jupiter, deux termes semblables rapportés à deux aphélies difiërens; ce qui revient à supposer une double excentricité à l'orbite. La partie elliptique du mouvement de la planète en longitude est alors formée, comme dans le mouvement elliptique simple, des termes elliptiques du rayon vecteur, dans lesquels on change les cosinus en sinus, en leur donnant pour coefficienfl, le double de ceux des cosinus , pris avec un siyne contraire. Euler suppose les parties elliptiques du rayon vecteur et de la longitude de Saturne, formées de termes semblables rapportés à ces deux aphélies. En substituant dans l'équation différentielle du rayon vecteur de Jupiter, les termes relatifs à l'un de ces aphélies; la comparaison des mêmes cosinus , lui donne une expression de mouvement de cet aphélie , qui contient le rapport de l'excentricité de l'orbite de Jupiter relative à cet aphélie , à l'excentricité correspondante de l'orbite de Saturne. La même substitution dans l'équation différentielle du rayon vecteur de Saturne , lui donne une seconde expression dn mou- • veinent de cet aphélie, pareillement dépendante du rapport des excentricités. De la comparaison de ces deux expressions , il obtient pour déterminer ce rapport, une équation du second degré, dont il choisit une des racines qu'il substitué dans ces expressions pour avoir le mouvement de l'aphélie. En considérant de la même manière, les parties elliptiques relatives à l'autre aphélie ; Euler parvient à une autre équation du second degré, qui détermine le rapport des deux': excentricités des orbites, correspondantes à cet aphélie. Les racines de cette équation sont imaginaires ; mais il les rend réelles et égales , par ira léger chah-