a.ai— i a.4-ai — i .ai

Si Ton fait ^ = x ; P co devient le coefficient de x i , dans le développe-

ment de (i — aA^r-j--* 1 ) a , fonction que l'on peut mettre sous cette forme

Le coefficient de dans le développement de

est égal à

a: étant supposé nul après l«s dilTérentiations. J'ai fait voir dans le n° 38 de la Théorie analytique des Probabilités, que l'on a, Ç restant quelconque après les différentiations,

d\ -=L=- = i fdvr'Z -\-cos csr) 1 -

l'intégrale étant prise depuis m nul jusqu'à «■ à la demi-circonférence 7r. En faisant donc

LIVRE XI. 33 lorsque x est nul après les différen dations, ce qui donne

i .3.3. . • • i.dx'

*.W=[f f*"' (A v/ - 7 + ^Tv.cos (/)

Dans le cas de Aa i , cette fonction se réduit à l'unité, comme cela doit être ; car t*® devient alors le coefficient de x 1 dans le développement

de - Mais pour peu que A soit moindre que l'unité, la fonction

précédente et par conséquent P*° devient moindre que l'unité ; comme il est facile de le prouver.

L'intégrale {f) prise depuis <ar= o jusqu'à <zr =9r, est égale à cette

même intégrale prise depuis «ffl" = o jusqu'à 9 = ^, plus à l'intégrale

^ -y ./<fo-'.(A,v/— i — A'.cos<ar / )< ,

prise depuis <w' = o, jusqu'à V= ï , comme on le voit en changeant «■ en *— "ar', dans l'intégrale (/), lorsque «■ surpasse jj. Soit donc y' s= J — y , ce qui donne À = sin >' ; - la fonction (/") devient

-74= . Çdm r , c^-^;-*- «*>;• «H; ~i ; (p>

» (/-•)' L+(v^T.siny— cos^cos») 1 J

l'intégrale étant prise depuis <v nul jusqu'à 4T= ^. On peut donner à cette fonction la forme suivante

"(V^I) J ^+(-l)^(co.^-^^.•b.y).[I^.cco^'4.I^«w»^.co^^«i n •U]') on a

/tttr.fi — a.(cos>'— \Z^i.ûay').c<»y'.àa*.i *■]•

= c «• *og C« — » • («•• V'— "»"• «n>' )• «* y', «a» . S *]

Mécam. céi» To/ne 5

c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité. 11 résulte de la méthode générale que j'ai donnée dans les Mémoires de l'Académie des Sciences pour l'année 178a, et que j'ai développée avec étendue dans ma Théorie analytique des Prohabilités, que dans le cas de t, un très grand nombre, cette intégrale devient à très peù près épie a celle-ci:

l'intégrale étant prise depuis <jr nul, jusqu'à m infini. En faisant

* • V/j.Ccosy; — V— -1 .siny).cos>'= t , cette intégrale devient

— > L-— .fdt.C ;

V/-.co»>'

l'inlcurale étant prucdepu'u ( nul, jusqu'à ( infini, ce qui ilonne

De là il est facile de conclure que la fonction (/), valeur de est à fort peu près dans le oas de i égal A un très grand nombre pair,

et que dans le cas de t très grand et impair, celte valeur est à fort peu près

a.(-0 a .»in(i+i). y '