LIVRE XV. 3n

La méthode suivie par Euler pour déterminer les variations de* antres

élémens du mouvement elliptique, n'est pas aussi directe t|u« la précédente ; mais au fond, elle revient au même. Le plan auquel «e grand géomètre rapporte aanora les coornonnees, est celui de 1 orDite ae la planète dont il considère les perturbations. Il suppose* ce plan fixe; ce que Ton petit faire dans le calcul du rayon vecteur et dé la longitude, du moins si l'on néglige le carré de la force perturbatrice. 11 détermine les expressions différentielles de ces deux coordonnée», différentielles que l'on déduit immédiatement du principe des aires et du principe des

vecteur* qui, comme l'on sait, est égal au paramètre divisé par l'unité diminuée du produit de l'excentricité, par le cosinus de l'anomalie rapportée a l'aphélie. 11 différencie cette expression , ert supposant les élémens constans; en comparant ensuite cette différentielle à celle du rayon vecteur, qu'il a trouvée en fonction des forces perturbatrices,

ces différentielle; ce qui lui donne les expressions de ces deux érémerw. Euler en conclut la différentielle du quotient de l'unité divisée par le grand axe. 11 est facile de s'assurer qu'elle est une différence exacte des coordonnées de la planète troublée, résultat important auquel Lagrange est parvenu d'une manière directe, et d'où il a conclu, comme nous le dirons bientôt, Finvariabilité des moyens mouvemens planétaires. La différentielle de l'expression elliptique on du rayon vecteur, prise en y faisant varier les élémens et l'anomalie, donne la différentielle de l'anomalie, qui retranchée de la différentielle de la longitude, donne la différentielle du mouvement de l'aphélie. Euler ne considère point la variation de l'époque ; ce qui rend incomplète, sa théorie de la variation des élémens elliptiques.

Dans l'évaluation des forces attractives, Euler rapporte le mouvement de la planète troublée, au plan de la planète {perturbatrice; mais il observe que la projection dé l'ellipse de la planète troublée, sur ce plan, est une ellipse dans laquelle le Soleil n'étant plus au foyer, les lois de Kepler ne sont point observées autour de ce point, ce qui complique les calculs. Il juge donc avec raison, que dans le calcul des perturbations du rayon vecteur et de la longitude, il convient de rapporter le mouvement de. la planète troublée, au plan de son orbite. Il y a de l'avantage à rapporter ce mouvement au plan de l'orbite de la

planète perturbatrice, dans le calcul des variations de l'inclinaison de l'orbite et de ses nœuds; et sur cet objet, il parvient aux résultats de sa première pièce.

Plusieurs des formules de ce grand géomètre sont incomplètes £ ainsi l'expression qu'il donne, du mouvement de l'aphélie, ne renferme point la partie de ce mouvement, dépendante du rapport de l'excentricité de l'orbite de la planète perturbatrice, à celle de l'onbite de la planète troublée. En général dans cette pièce, comme dans les deux précédentes, le mérite des méthodes fait regretter que leur auteur ait été souvent, par de nombreuses erreurs de calcul,. conduit m des résultats fautifs qui l'ont, peut être, empêché lui-même de reconnaître les avantages de ces méthodes sur lesquelles il n'est plus -revenu.

Enfin Euler termine sa pièce, par une application étendue de ses formules au mouvement de la Terre. En partant de suppositions assez vraisemblables, sur le rapport des masses des planètes, à la masse du Soleil; il détermine la variation séculaire de l'obliquité de l'écbptique qu'il trouve de 48"-sexagésiraales, ce qui s'écarte fort peu des observations. Il a, mis par là, hors de doute, la diminution séculaire de cette obliquité, que de sa vans astronomes regardaient alors comme incertaine. .,».»,.. .

C'est à fort peu près à ces trois pièces , que se. rédutsept Les travaux d'Euler sur la théorie des perturbations du mouvement des planètes. On n'a rien ajouté à cette théorie, jusqu'aux recherches de Lagrange, publiées dans le tome III des Mélanges de la Société royale de Turin, qui parut en 1766. Lagrange -y considère les objets traités par Euler dans sa seconde et dans sa troisième pièces; savoir , la variation des élémens du mouvement elliptique , et le moyen d'intégrer les équations différentielles du mouvement des planètes, sans introduire d'arcs de cercle dans les intégrales. Lagrange ne parait pas avoir connu ees pièces d'Euler, qui n'ont été publiées qu'en 1769. Pour obtenir les variations différentielles des élémens du mouvement elliptique, Lagrange étend au rayon vecteur, les mêmes considérations par lesquelles Euler dans les Mémoires de l'Académie de Berlin pour l'année 1750, avait déduit de l'expression de la latitude, les variations différentielles de l'inclinaison de l'orbite et du nœud. 11 différencie l'expression elliptique du rayon vecteur; et il égale à zéro, la partie de cette différentielle, qui dépend des variations de l'excentricité et de la longitude de l'a-