LIVRE XV. 3i

phélie; ce qui lui donne une première équation entre les différentielles de ces élémens. La différentielle du rayon vecteur devient ainsi la même que dans l'ellipse invariable. 11 la différencie de nouveau, et [il obtient entre les variations des deux mêmes élémens, une seconde équation dans laquelle il substitue au lieu de la différence seconde du rayon vecteur, sa valeur -donnée par les équations différentielles du mouvement de la planète. Mais ces équations sont inexactes, parce qu'elles ue renferment point la variation du grand axe, à laquelle Lagrange n'a point en égard, non plus qu'à la variation de l'époque.

Le moyen par lequel Lagrange obtient les intégrales du mouvement des planètes, sans arcs de cercle, quoique beaucoup moins simple que celui d'Euler," est très ingénieux. Il consiste à égaler chaque terme des équations différencielles des mouvemens de Jupiter et de Saturne , aune nouvelle variable; à diflérencier ces variables et leurs valeurs; et à combiner les équations qui en résultent, avec les équations difrentielles des coordonnées des planètes, de manière à obtenir entre toutes ces variables, un système d'équations différentielles linéaires à coefllciens constans, qu'il intègre par un procédé fort simple. 11 détermine ainsi les- rayons vecteurs des deux planètes, et il est conduit par son analyse, aux deux excentricités qu'Euler avait imaginées pour chaque planète. Mais son calcul étant exact, il ne trouve qu'une seule équation du second degré, pour déterminer les rapports des excentricités des orbites des deux planètes , relatives au même aphélie. En appbquant cette méthode aux équations différentielles de la latitude, ce grand géomètre représente la latitude de chaque planète, au moyen de deux inclinaisons rapportées à deux nœuds différons ; et il détermine par les racines d'une seule équation du second degré, les rapports des inclinaisons des orbites des deux planètes , relatives au même nœud. En développant ses formules en séries; il donne les expressions analytiques et numériques des variations séculaire, des excentricités, des aphélies, des inclinaisons et des noeuds des orbites de Jupiter et de Saturne, expressions dont j'ai reconnu l'exactitude. 11 parvient enfin à deux équations séculaires proportionnelles au carré du temps , l'une additive à la longitude moyenne de Jupiter, l'autre plus grande et sousirective de la longitude moyenne de Saturne. Euler, comme nous l'avons dit , trouvait ces inégalités, les mêmes et toutes deux additives à la longitude. Mai» le résultat de Lagrange, quoique plùscon-

forma que celui d'Enfer, à ce que les observation» semblaient indiquer, n^nert pas plus exact.

Je présentai en 1773, à l'Académie de» Sciences, mes premières Ilecberches sur le Système du Monde. Elles ont paru dans le volume des Mémoires des Savans étrangers de la même année , qui n T a été publié qu'en 1776. Mou objet principal dans ces recherches a été de

des planètes. Frappé des différences qu'offraient à cet égard, les expressions trouvées pur Euleret Lagrange, et considérant quîik avaient négligé plusieurs quantités du même ordre que celles dont iks avaient tenu compte; je déterminai ces expressions, avec l'attention la phas scrupuleuse. Celle du moyeu mouvement était surtout importante dans l'Astronomie : elle paraissait fort sensible dans le mouvement de Saturne. Bn substituant dans ma formule, les valeurs numériques dea quantités relatives à .Faction de Jupiter siir cette planète; je fus surpris de trouver un résultat nul, et j'en conclus que L'action de Jupiter n'altère point le mouvement moyen de -Saturne* Une substitution semblable relative m l'action de Saturne sur Jupiter, me donna pareillement uu résultat nui. L'égalité à zéro de ces deux résultats me fit soupçonner qu'elle ne tenait peint eus, valeurs propres de» éléinena de ces deux planètes, et que l'expression analytique ellemême était identiquement nulle. Cette expression renferme un nombre considérable de termes multipliés par les coefficiens des anales multiples de l'élongation des deux: planètes, dans le développement

vu que ces. coffiqiens ont entre eux des rapports tels, que si le premier et le second coeihcieœ d* développement de l'une de ces puissances sont donnés, on peut en conclura tous les autres. La formule analytique de lUnégalilé séculaire du moyeu mouvement pouvait être ainsi, réduite à ne renfermer que ces deux coeniciens. Je reconnus que par cette réduction, chacun de ces «oelliciens disparaissait, et que la formule se réAùsaU à aéro. Il A* ainsi bien prouvé que l'action mutuelle des planètes ne produit aucune altération séculaire dans leurs moyens mouvemens , du moins en négligeant les carres et les produits des masses des planètes, et les produits do quatre dimensions, des excentricités et des inclinaisons des orbites } car il est facile de s'assurer que les quantités de dimensions impaires de ces élémens ne