LIVRE XV

donc alors qu'osciller autour d'un «'fat moyen, dans d'étroites limites. Mais si quelques-unes des racines étaient imaginaires ou égales entre elles; les sinus et les cosinns correspondans se changeraient eu exponentielles ou en arcs de cercle qui , croissant indéfiniment avec le temps, donneraient aux variables, de grandes valeurs; et changeraient considérablement la forme des orbites. Heureusement, je suis parvenu d'une manière fort simple exposée dans les Mémoires de l'Académie des Sciences pour l'année 1784, à faire voir que, quelles que soient les masses des planètes pourvu qu'elles soient fort petites par rapport à la masse du Soleil, par cela seul qu'elles se meuvent toutes dans le même sens, autour de cet astre et dans des orbes presque circulaires et peu inclinés «'iitn' eux; l'équation algébrique dont je viens de parler, n'a que des racines réelles et inégales, lin appliquant les mêmes raisonnemens aux équations différentielles relatives à l'inclinaison et à la longitude du nœud ; j'ai trouvé pareillement que les racines de l'équation algébrique dont dépendent leurs intégrales sont réelles et inégales; et qu'ainsi les inclinaisons des orbites sont toujours fort, petites. De là il soit que le système des planètes est stable. Comme les systèmes des satellites satisfont à la condition que tous les satellites de chaque système se meuvent dans le même sens, autour de leur planète; on peut affirmer, quoique leurs masses soient pour la plupart inconnues, que ces divers systèmes jouissent de la même stabilité, que celui des planètes.

Je développai dans la seconde partie des Mémoires de l'Académie des Sciences, pour l'année 1772, la méthode précédente de faire disparaître les arcs de cercle des intégrales, en faisant varier les élémens; et je l'étendis aux équations différentielles d'un ordre quelconque. Cette manière de faire varier les constantes arbitraires, diffère de celle qu'Eoler avait employée, en ce qu'elle n'embrasse que les inégalités dont la période est indépendante de la configuration mutuelle des planètes ; ce qui apporte une grande simplicité dans les calculs. Elle s'étend à tous les cas où les élémens d'un système de corps éprouvent par des causes quelconques , telles qne la résistance d'un milieu rare, des altérations qui ne deviennent sensibles qu'après un long intervalle dè temps.

Fontaine remarqua, le premier, qu'une équation différentielle d'un ordre quelconque , a autant d'intégrales de l'ordre inférieur, qu'il y a d'unités dans son ordre. Lagrange, dans sa pièce sur les perturbations des

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comètes qwiremporU en 1 780, le prix de l'Académie des Seienceajet dans les Mémoire» de Berlia pour Tannée 1 78a, considéra sous ce point de vue général, les intégrales des équations différentielles du mouvement des planètes. Le mouvement d'une planète soumise à la seule attraction du Sol c'û, r est donné par trois equauons duTérenticlle» du second ordre dont les trois intégrales finies renferment par conséquent six constante» arbitraires qui sont, les élémens du mouvement elliptique. En différenciant ces intégrales, on a six équations au moyen desquelles on peut par l'élimination, déterminer chaque élément en fonction des coordonnée» du mouvement de la planète, et de leurs différentielles divisées par l'élément du temps. Lagrange conçoit que ces six équations différentielles 4u premier ordre, ont également lieu dans l'ellipse invariable et dans l'ellipse troublée; mais que dans ce dernier cas, les élémens sont variables. Pour avoir les différentielles des élémens, il fait tout varier en différenciant chacune de ces intégrales du premier ordre; et il substitue après la différentiation , au lieu de la différence seconde de chaqae coordonnée, sa valeur donnée par les équations différentielles du mouvement de la planète troublée. 11 obtient ainsi la différentielle de chaque

que dans la substitution de la valeur de la différence seconde de chaque, coordonnée , on peut ne considérer que la partie de cette valeur, due aux forces perturbatrices; l'autre partie devant disparaître dans l'expression de la différentielle de l'élément, puisque cette expression serait identiquement nulle, si ces forces n'existaient pas. Lagrange, dans sa pièce sur l'équation séculaire de la Lune, qui remporta en 1774 le prix de l'Académie des Sciences, exprima les forces attractives décomposées suivant la direction des coordonnées, par les différences partielles d'une fonction prises par rapport à, ces coordonnées. Si l'on rapporte le mouvement du point attiré, au centre de gravité du système de corps ; cette fonction est la somme des molécules attirantes, divisées respectivement par leurs distances au point attiré. Si l'on rapporte le mouvement, au centre de l'un des corps du système* considéré comme immobile; il iaut ajouter à cette somme , la demi -somme des produits, de. chaque molécule attirante, par le carré de sa distance au point attiré , diminué des carrés des distances de la molécule et du point au centre du corps supposé immobile, chacun de ces produits étant, divisa par le cube de la distance de la molécule attirante à ce même centre. Je nommerai cette fonction, fonction