LIVRE XV

perturbatrice. La propriété dont elle jouit, d'exprimer par ses différences partielles, les forces perturbatrices du mouvement du point attiré, simplifie extrêmement les calculs, et donne à leurs résultats , une forme qui fait voir facilement leurs rapports, surtout quand on considère une infinité de molécules attirantes ou attirées , comme dans les théories de la figure des planètes, du flux et du reflux de la mer, et de la précession des équinoxes. Son introduction dans la Mécanique céleste est, à cause de son utilité, une véritable découverte.

Lagrange, en appliquant la méthode précédente de la variation des élémens elliptiques , à l'expression du quotient de l'unité divisée par le grand axe, reconnut que la différentielle de cette expression prise en moins est la différentielle exacte de la fonction perturbatrice, prise par rapport aux seules coordonnées de la planète troublée. Si l'on développe cette fonction dans une série de sinus et de cosinus d'angles croissans proportionnellement au temps, et si l'on néglige le carré des forces perturbatrices ; on obtient cette différentielle, en ne faisant varier dans ces sinus et cosinus, que les angles qui se rapportent à la planète. 'Lagrange en conclut que l'expression du grand axe ne contient que des inégalités périodiques; et qu'ainsi la longitude moyenne que l'on en déduit par les lois de Kepler, ne contient elle-même que des inégalités de ce genre, et ne renferme point d'inégalités séculaires. Ce théorème auquel fêtais parvenu en négligeant les produits de quatre dimensions des excentricités et des inclinaisons des orbites, fut ainsi, non-seulement confirmé par ce grand géomètre, de la manière la plus élégante et la plus simple, mais encore étendu â des excentricités et à des inclinaisons quelconques.

J'ai fait voir dans le sixième Livre, qu'en ayant égard aux carrés et aux produits des masses de Jupiter et de Saturne , leurs grandes inégalités n'altèrent point ce résultat. M. Poisson est ensuite parvenu par une savante analyse insérée dans le tome VIII du Journal de l'École Polytechnique, à démontrer généralement, que le carré de la force perturbatrice n'introduit que des quantités périodiques, dans l'expression de la longitude moyenne; résultat important dans l'Astronomie, parce qu'une inégalité séculaire dans l'expression différentielle du grand axe, quoique multipliée par le carré des masses planétaires, donnerait par la double intégration qu'elle subit dans l'expression de la longitude moyenne, une inégalité du même ordre que l'inégalité du mouvement

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elliptique, dout l'argument est le double de l'anomalie. Ces recherclies de M. Poisson et celles qu'il a publiées dans le même volume, sur la précession des équinoxes et sur l'uniformité de la rotation de la Terre, lui ont acquis de justes droits à la reconnaissance des géomètres et des astronomes.

Le résultat précédent cesse d'avoir lieu, si les moyens mouvements ont entre eux des rapports commensurables. Ce cas très singulier se présente dans le système des satellites de Jupiter, et je l'ai discuté dans les Mémoires de l'Académie des Sciences de 1784. La longitude moyenne du premier satclUte moins trois fois celle du second, plus deux fois celle du troisième est égale à la demi-circonférence. L'approximation avec laquelle les Tables des satellites de Jupiter parVargentin donnent ce rapport, me fit soupçonner qu'il est rigoureux. Il était contre toute vraisemblance de supposer que le hasard a placé originairement les trois premiers satellites, aux distances et dans les positions convenables à ce rapport; et il était extrêmement probable qu'il est dû à une cause particuUère. Je cherchai donc cette cause dans l'action mutuelle des satellites. L'examen approfondi de cette action , me fit voir qu'elle a sufli pour rendre ce rapport rigoureux , s'il a été fort approché à l'origine; d'où je conclus qu'en déterminant de nouveau par la discussion d'un très grand nombre d'observations éloignées entre elles,, les longitudes moyennes des trois premiers satellites, on trouverait qu'ils approchent encore plus de ce rapport , que les Tables de Vargentin. Cette conséquence de lu théorie a été confirmée avec une précision remarquable, par les recherches que Delambre a faites sur les satellites de Jupiter; et les Tables qu'ila publiées sont rigoureusement assujetties à ce rapport. La petite différence qui a pu exister primitivement à cet égard, a donné lieu à une inégalité d'une étendue arbitraire, qui se partage entre les trois satellites, et que j'ai désignée par le nom de libration des mouvemens de ces satellites. Les deux constantes arbitraires de celte inégahté , remplacent les deux arbitraires que ce rapport fuit disparaître dans les moyens mouvemens et dans les époques des longitudes moyennes; car le nombre des arbitraires que renferme la théorie du mouvement d'un système de corps, est nécessairement sextuple du nombre de ces corps. La discussion des observations n'ayant point fait reconnaître cette inégalité, elle est fort petite et même insensible. Dans les Mémoires de l'Académie de Berlin pour les années 1781 et