LIVRE XV

suivantes, Lagrange détermina par la méthode de la variation des élémens elliptiques, les inégalités séculaires et périodiques du mouvement des planètes, et il les réduisit en nombres, en donnant aux masses planétaires, les valeurs qui lui parurent les plus vraisemblables. Cette méthode <léià fort longue quand on considère la première puissance des excentricités et des inclinaisons, devient presque impraticable, lorsqu'on veut l'étendre aux carrés et aux puissances supérieures de ces quantités; ce qui est indispensable dans la théorie des planètes. Mais elle peut être extrêmement simplifiée par les considérations suivantes.

On a vu que la différentielle de la puissance première inverse du grand axe prise en moins est égale à la différentielle de la fonction perturbatrice, prise en n'y faisant varier que les coordonnées de la planète troublée. En développant donc cette fonction dans une série de sinus et de cosinus d'angles croissans proportionnellement au temps, il suffira dans une première approximation où l'on néglige le carré de la force perturbatrice, de différencier chacun des termes de cette série , par rapport au seul mouvement de la planète. On aura ensuite par l'intégration de ces termes, l'expression de l'unité divisée, par le grand axe : on en conclura par les lois de Kepler, la différentielle de 1a longitude moyenne, qui intégrée de nouveau, donnera cette longitude. On peut observer ici, que cette double intégration donne à chaque terme du développement de la fonction perturbatrice, pour diviseur, le carré du coefficient du temps compris sous les signes sinus du cosinus; ce qui rond ce terme, fort grand, lorsque ce coefficient est très petit.'

La facilité que donne l'expression très simple de' la différentielle du grand axe, pour avoir la longitude, me fit rechercher s'il est possible de donner aux différentielles des autres élémens elliptiques, une forme aussi simple, dans laquelle les différences partielles de la fonction perturbatrice ne seraient prises que par rapport aux élémens, et dont les .coefficiens ne renfermeraient point le temps. En effet, il suffirait alors de différencier par rapport à ces élémens , chaque terme du, développement de la fonction perturbatrice et ensuite de l'intégrer. Je parvins à obtenir les différentielles des élémens sous cette forme, par l'analyse que j'ai donnée dans le Supplément à la Mécanique céleste, et que je présentai le 37 août 1807, au Bureau des Longitudes. Dans la même séance, Lagrange présenta une très belle analyse par laquelle il exprimait la différence partielle de la force perturbatrice, prise par rapport

3aa MÉCANIQUE CÉLESTE,

à chaque élément , par une fonction linéaire des différentielles des élémens , divisées par la différentielle du temps , et dans laquelle les cocfficiens de ces différentielles , ne renfermaient point le temps. En déterminant au moyen de ces expressions, la différentielle de cbaqne élément; il parvint ensuite aux mêmes équations que j'avais trouvées. Ce grand géomètre a étendu son analyse, au mouvement des corps solides, et généralement au mouvement d'un système de corps liés entre eux d'une manière quelconque. Ce travail des dernières années de sa vie , est une de ses plus belles productions : il montre que l'âge n'avait poiut affaibli son génie. M. Poisson a publié sur cet objet , plusieurs savans Mémoires où il a été conduit sur le mouvement des corps solides, à des équations de la même forme que pour les points libres ; ce qui établit l'analogie de ces mouvemens.

Les recberdhes sur Jupiter et Saturne dont j'ai parlé ci-dessus, laissaient encore inconnue, la cause des grandea irrégularités que les observations anciennes et modernes indiquaient dans les mouvemens de ces deux planètes. Halley avait conclu de la comparaison des observations anciennes avec les modernes, un ralentissement dans le moyen mouvement de Saturne , et une accélération dans celui de Jupiter. Lambert avait obtenu un résultat contraire en comparant les observations du dernier siècle avec celles de Ticho-Brahé. Enfin Lalande trouvait les retours de Saturne à l'équinoxe du printemps, plus prompts que ses retours à l'équinoxe d'automne , quoique les positions de Jupiter et de Saturne , soit entre eux , soit à l'égard de leurs aphélies , fussent à peu près les mêmes. Cela portait à croire que des causes étrangères avaient altéré les mouvemens de ces deux planètes; mais en y réfléchissant, la marche de ces altérations me parut si bien d'accord avec ce qui devait résulter de leur action mutuelle , que je ne balançai point à rejeter toute action extérieure au Bystème planétaire.

C'est un résultat remarquable de l'action réciproque des planètes, que si l'on n'a égard qu'aux inégalités dont les périodes sont très longues, la somme des masses de chaque planète divisées respectivement par les grands axes de leurs orbes considérés comme des ellipses variables, est à très peu près coustanle. Nous avons dit précédemment que ces inégalités acquièrent par une double intégration, dans l'expression de la longitude, pour diviseur, le carré du très petit coefficient du temps dans leur argument ; ce qui peut les rendre considérables. Dé là il est facile de voir