LITRE XI

En restituant - — y, pour y, oc» deux expression» deviennent l'une et l'autre ,

A étant supposé plus petit que l'unité , cette valeur de I*" est toujours fort approchée lorsque t est un très grand nombre : elle devient exacte, lorsque i est infini. Mais il est remarquable que l'expression donnée ci-dessus de P (<) , par une suite de puissances de A, et qui dm» le cas de i un très grand nombre, est composée d'un grand nombre de termes et de facteurs, se réduise alors à une expression aussi simple. Considérons présentement l'intégrale

"7 yV-a/r+i' qui devient V", lorsque r=i. Le coefficient de —nr? dans cette mté-

grale développée par rapport aux puissances de - est dans le cas où est un très grand nombre,

— TBH8. I 1 \ -

En intégrant cette fonction par rapport à /t*', on a

On voit ainsi que quel que soit jr,, on arrivera toujours par le dévelop»

pement du radical = suivant les puissances de à une

série très convergente, à cause du diviseur + ~) • \/^ Le coefficient de dans ce développement, est par len° a3 du 3 e Livre

/ ,.3.5..^-.y x ' '••^■^■^^ ,co« B .^).(,^.)-( f- Sï.^.-. +tlt . Y

\ i.a.i... « / i i4.,. t -H»...i^ \ a. ai— i /(

-f W*( f " i-n.i-n-i f ^- mJ .^. J

t \ a.ai-i /

le signe 2 comprenant toutes les valeurs de la fonction qu'il enveloppe , depuis n=o jusqu'à n=i. Dans le cas de »=o, il ne faut prendre» que la moitié de cette fonction.

La première approximation nous a donné jr t sous .cette forme

Y«o + Y'(0 + Y'f>-f-etc.

En la prenant négativement et en y changeant fx en fx' ; on aura la la valeur de/,, qui, substituée dans l'intégrale

développée par rapport aux puissances de - , donne par une série très

convergente, cette intégrale et par conséquent la valeur de V". On aura ainsi, au moyen de l'équation (4), une seconde approximation de la valeur de et/> ordonnée, comme la première, par une suite de fonctions de la (orme Y r(<> . On aura ensuite, au moyen de l'équation (6), une seconde approximation de la pesanteur p. Ces approximations seront suffisantes , vu le peu de densité de la mer et son peu de profondeur, comme on le verra bientôt.

Dans le cas où la Terre est un sphéroïde de révolution, il est facile de voir que la valeur de V" se simplifie, et se réduit à une suite de termes compris dans la forme

QM étant égal à

! , ' 8 : S :y g f 7 >(^" -S.M-M-etc.); ».a y a. ai— i /