LIVRE XV

(a , a') étant la partie indépendante de 8 dans le développement de

(a* — 2 aaf . cos 8 ■+■ «'*)*, suivant les cosinus de 8 et de ses multiples; (a, a'y étant le coefficient de cos 8 dans ce développement ; et la caractéristique 2 servant à exprimer la somme de toutes les quantités semblables à celle qu'elle précède , et que l'on peut former en considérant deux à deux les masses m, m\ m", etc.; on aura les équations suivantes :

dh

etc.

Ces équations sont les équations (A) et (C) des n*' 55 et 59 du second livre. Lagrauge a donné le premier les équations (C) relatives aux inclinaisons et aux nœuds des orbites, dans les Mémoires de l'Académie des Sciences de 1 774. J'ai donné les équations (A) dans les Mémoires de l'Académie des Sciences de 1772- Toutes ces équations sont linéaires et facilement intégrables par les méthodes connues. Leur forme svmétrique et fort simple m'a fait voir que leurs intégrales ne renferment par rapport aux temps , ni exponentielles ni arcs de cercle, et qu'ainsi les excentricités et les inclinaisons des orbites sont fonctions de sinus et de cosinus d'angles croissans avec une grande lenteur, et indépendans de la conGguration mutuelle des planètes; en sorte que les orbites planétaires ont toujours été et seront toujours presque circulaires et peu inclinées entre elles; ce qui assure la stabilité du système planétaire. 11 est facile de voir que les équations précédentes donnent

m . \/â (hdh -f Idl) -f- m' \Jd (h'dK + tdV ) + etc. = o, m . \fa {pdp + qdq) -f- ni ' \/â' (pfdp' -f- q'dq') -f- etc. = o ; Mécan. cél. Tome V. 45

d'où l'on tire en intégrant :

e É .m\/« + e' , .'n'. V«' -f- etc. = C ; • > , .mV / â + >' , .'»'.V'â i + etc. C

C et C étant deux constantes très petites; il en résulte que e, e', etc., y, y\ etc., seront toujours des quantités très petites.

Lagrange, dans la seconde édition de sa Mécanique analytique, observe que si la masse m* est très petite par rapport à m, comme Mars relativement à Jupiter dont il n'est pas la centième partie; alors le terme e'*m' V» sera toujours du même ordre que e*m \/a , quoique e' croisse considérablement et devienne même égal à l'unité. 11 en conclut que l'on ne peut être alors assuré que é % conservera toujours une petite valeur, qu'en résolvant l'équation algébrique qui détermine les coefficiens du temps, dans les sinus et cosinus des expressions de A, /, h' , etc.; et en s'assurant que les racines de cette équation sont toutes réelles. Mais si ce grand géomètre eût considéré ce que j'ai dit dans les Mémoires de l'Académie des Sciences de 1784 , et dans le n° 57 du second Livre de la Mécanique céleste ; il aurait vu que sans recourir à cette résolution , je démontre que ces racines sont toutes réelles et inégales.

Sur le développement en série, des puissances du radical qui exprime la distance 'mutuelle de deux planètes.

3. Si l'on nomme r et r* les rayons vecteurs de deux planètes, et 6 l'angle au Soleil, compris entre ces rayons; la distance mutuelle des deux planètes sera

V>— ar/.cosfl-f-r".

/* et r 1 diffèrent toujours peu des moyennes distances a et a' de ces planètes; en sorte qu'eu désiguant r par a-f-JV, r' par a'-fr-JV; on aura en développant la radical dans une série ordonnée suivant les puissances et les produits de /r et de JV, une suite de termes multipliés par les puissances successivement décroissantes du radical

V* 1 * 3«a . cos 6 a'*-.