UVRE XV
Supposons a' plus grand que a, et faisons -; = *î ce radical devient
a'.y/i — a» . cos 8 -f- a*.
Considérons généralement la puissance
(i — aa . cotfl-f-a»)-',
et supposons qu'en la développant dans uue série ordonnée par rapport à cos 9, cos ad 1 , etc., on ait la suit*
[ . * « -f- * ,« . cos 8 4- b ». cos a8 -f • • ■ 4- *. (0 . cos ifl + et». ; on aura par le n # ^9 du second Livre,
Cette éqtiation aux diflèrences finies peut être intégrée au moyen cPmk
tégrales définies, par la méthode que j'ai donnée dans ma Théorie analytique des Probabilités. En faisant d'après cette méthode
<p . dx,
<p étant une fonction de x; il faut déterminer 0 et les limites de l'intégrale fx?$dx\ ce que l'on fera de cette manière.
On substituera cette valeur de &/° dans l'équation aux différences finies (a) qui devient ainsi
o=(i— s)a ./x 1 . Qdx— (t— îXi+aOA*" • ^.fic^dx. En intégrant par parties, on aura
o = x < - , .<p.[* — (i +**)j:-r-*jc*]
Cette équation doit, suivant la méthode que j'ai citée, se partager en deux, en égalant séparément k zéro les termes compris sous le signe
intégral; ce qui donne
o i)*-H i (*-f-i)*x»] dx—xdç[a—( i-f-a'^r-H*»],
o = x 1 - . <p . [cl — ( i H- *•) jc ctx*].
La première de ces équations donne en l'intégrant
H étant une constante arbitraire. La seconde équation qui sert à déterminer les limites de l'intégrale, donne pour .les limites de l'intégrale
On peut toujours supposer s moindre que l'unité; parce qu'ayant pour ce cas, la valeur de on peut par le n* 49 second Livre, en conclure la valeur relative à tous les cas où s est augmenté ou
diminué d'un nombre entier. Dans le cas des planètes, s =s - , et l'équation des limites devient
o = x l ~ * . [<t — ( i -f- «•) x ax*] *
dont les racines sont, lorsque i est égal ou plus grand que a,
.r = o , x s et , jc = -.
Ainsi l'intégrale complète de l'équation (a) est alors
bS»=H. J f *~~ tdx + H'. , ,, /(—^(i-^) |/(*-x)(i-«)'
la première intégrale étant prise depuis x = o jusqu'à Jt = <t, et la seconde étant prise depuis xsset jusqu'à x = -, H et H' sont deux arbitraires. Cette dernière intégrale introduit dans l'expression de *,<'>,
des puissances négatives de « ; de l'ordre ^ ; ce qui n'a point lieu pour
LIVRE XV. 33 7 les planètes. On doit donc alors supposer H' nul. Pour avoir l'intégrale
H I x ax
nous ferons l'intégrale précédente devient ainsi
cette dernière intégrale étant prise depuis Zsso, jusqu'à <:= i ; c'est
l'expression de . Soit
c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité : on aura en développant en série
ce qui
Lorsque i est un grand nombre, les termes qui suivent le premier dans le second membre, deviennent successivement plus petits et sont des
ordres j, -, etc., par rapport à lui. Nous ne considérerons ici que
le premier, et alors impression précédente de , devient
•i if»
t nul, donne u nul, et tz=s i , donne u infini. L'intégrale Jdu . c"""' devient, comme l'on sait, dans ces limites, égale à £ * étant
la dewi*circonférence dont le rayon est l'Unité. On a donc, lorsque i
est un grand nombre
Pour déterminer H, nous observerons que #°i étant le coefficient de cosifl, dans le développement de (i — aa.cosô -f- **)""% ou de
on a
2W -i — 2.4.6. ..a» L «+a a aH-a.**+4 2> 4 J
Considérons *°>. comme fonction de i ùt de «, et développons cette fonction suivant* les puissances descendante» de 1. Le premier du
1 f a» + a 'a* ^ai + a.ai-M "
est
1 + ;.*'-f-I^.«<-r-etc,
ou
Le premier terme du (acteur
développé suivant les puissances descendantes de i , peut être ainsi déterminé. On a par les théorèmes connus, potfr le premier terme dm produit, 1 . a . 3. ... ai, la quantité
LIVRE XV. 33 9 et pour le premier terme du produit i .a. . . i t le terme
le facteur précédent devient ainsi Le premier terme de la valeur de réduite en série par rapport aux puissances descendantes de * est donc
mais par ce qui précède, ce premier terme est on a donc
et par conséquent,
l'intégrale étant prise depuis t nul jusqu'à t égal à l'unité, a. étant toujours moindre que l'unité, on voit que les valeurs de b, m de-
viennent de plus en plus petites , et qu'ainsi la série du développe-
ment de (1 — aa.cosS-r***) », est très convergente.
De la grande inégalité de Jupiter et de Saturne.
4. 11 résulte du n* 65 du second Livre, qu'en considérant l'orbite troublée d'uoe planète, comme une ellipse variable; si l'on nomme £ la longitude moyenne de Jupiter, {' celle de Saturne ; l'expression différentielle des grands axes donne les deux équations différentielles
g = ?.sin(5£'- 3 £ + Â),
f , q'y A étant fonctions des demi-grands axes des deux planètes , que nous désignerons par a pour Jupiter et par a' pour Saturne , des
34o MÉCANIQUE CÉLESTE,
excentricités et des inclinaisons des orbites, des longitudes des périhélies et des nœuds, enfin des époques de la longitude. Nous regarderons ici ces quantités, comme constantes ; ce qui, pour notre objet, peut être supposé sans erreur sensible. En faisant donc
nous aurons
-jîT = fa?' — 27) sin V,
d'où l'on tire, en multipliant cette équation par dV et en l'intégrant, rfV r
-j- t = vtf* — (10^ — 47) cos v ;
c étant une constante arbitraire. Relativement à Jupiter et à Saturne, c est égal à 5n' — an, nt et n't étant les parties non périodiques de leurs longitudes moyennes.
Si c* surpasse (loq' — t\q) pris positivement, on pourra réduire en série convergente, la quantité sous le radical; et alors on obtient, pour Jupiter et Saturne, la valeur qui résulte des formules du sixième Livre. Mais si c* est moindre que 10/ — 4? P™ positivement; l'angle V ne peut plus croître indéfiniment ; il ne peut qu'osciller autour de l'un de ces deux points, zéro et la demi-circonférence. Ce changement de révolution en oscillation, aura lieu si, en faisant varier n et n! de cTn et JW, on a
5n' — an + 5 <JV — a/n = \/ 107' — 4?;
la quantité sous le radical étant prise positivement. Celte quantité peut être supposée sensiblement la même pour toutes les valeurs de J~n et JW , pourvu qu'elles soient fort petites relativement à « et n'; parce que les demi-grands axes a et a' dont q et q' dépendent , restent alors à très peu peu près les mêmes. Les deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne sont à fort peu près,
Dans les dernières tables de M. Bouvard, ces inégalités sont en secondes centésimales ,
366a",4 . sin V; — 8895", 7 . sin V;
