LIVRE XV. 34i

ce qui donne

7 = — (5n' — an)*. 566a",4 ; q' = (5n'— an)* . 88 7 5", 7 . En réduisant les arcs, en parties du rayon; on a S/xoq' — 4? = (5»' — an) . 0,4042 ; les deux limites de l'oscillation de ^ sont donc

± (5»' — an) . o,4<>43.

Pour que la valeur de -gg- soit comprise dans ces limites, il faut que Ton ait

5^— - an -f- 5<Tn' — atfn' < o,4o4a.(5n— an) ;

ce qui commence à exister, lorsque l'on a

M — aJV» = — o,5958 . (5n' — an).

Alors le moyen mouvement de Saturne deviendrait exactement les deux cinquièmes de celui de Jupiter. Si l'on fait <Pn égal à JV, l'équation précédente donne

«r»' = i^!.(5,,'--an).

Or on a à fort peu près, 5n' — an = ^j on aura donc

0,6968 "n 7 ' aïo

On a , par les lois de Kepler, ^7 = — \ > -ji on

et comme on a supposé <Tn= «JW, on aura Mécah. cél. Tome f . 46

11 eût donc suffi de faire varier de ces petites fractions, les distances moyennes de ces deux planètes au Soleil , pour rendre leurs moyens mouvemens commcnsurables. La détermination de V aurait alors présenté des difficultés; mais il est inutile de nous en occuper.

Sur la détermination des orbites des comètes par les observations.

5. J'ai donné dans les n c * 28 et suivans du second Livre , une nouvelle méthode pour déterminer les orbites des comètes. Elle consiste à déterminer par les observations, en partant d'une époque fixe, la longitude et la latitude géocenlriques de la comète, et leurs premières et secondes diflerences , divisées par les puissances correspondantes de l'élément dt du temps supposé constant. On conclut ensuite rigoureusement, des équations différentielles du mouvement de la comète, sa distance périhélie et l'instant de son passage par le périhélie. Pour obtenir avec plus de précision, les données dont je viens de parier; j'avais proposé d'employer plus de trois observations, en ayant soin d'augmenter l'intervalle des observations extrêmes, en raison du nombre des observations employées. Mais indépendamment de la longueur du calcul, les erreurs des observations nuisent à l'exactitude que l'on peut attendre de la multiplicité des observations j et il me paraît préférable de n'en employer que trois, en fixant l'époque, à l'observation intermédiaire, ei en prenant les observations extrêmes , assez peu distantes entre elles pour que dans l'intervalle qui les sépare, les données précédentes puissent être supposées à fort peu près les mêmes.

Soient et,, «t, a.' les longitude» géocentriques de la comète, dans la première , dans la seconde et dans la troisième observation. Soient 0,, 6 et 8' les latitudes géocentriques correspondantes. Désignons par i rintervallq.de k pnerniere à hv seconde observation, et par 2 l'intervalle de la seconde observation à la troisième. Prenons pour époque la seconde observation , et désignons par a^b,h, l t les quatre différentielles^-, ^, Nous aurons par les formules connues , les quatre équations ,

et — a, = ia . £; — 9, = in — - .