LIVRE XV. 343 « ssi'a-f'-.o; S' — 0 = t'A H- Ç . Z

On doit observer ici , que les intervalles t et ? sont égaux aux produits du nombre des jours qu'ils comprennent, par l'arc que la Terre décrit dans un jour, en vertu de son mouvement moyen. En supposant donc que dans les équations précédentes, 1* et 1* soient ces nombres de jours; ces équations donneront, en y changeant a, A, 7i, /, en V , A', P , les valeurs de ces dernières quantités, en secondes. S 1 elles sont sexagésimales, on aura les logarithmes de a et de A, en retranchant des logarithmes des nombres de secondes contenues dans d et A', le logarithme 3,550007a. On aura les logarithmes de * et /, en retranchant des logarithmes des nombres de secondes contenues dans ^' et le logarithme 1,7855874*

Ou déterminerait avec plus d'exactitude, les quatre inconnues â, A, A et /, en employant d'autres observations , pourvu qu'elles soient comprises entre les deux observations extrêmes précédentes. On aura , par ce qui précède, les équations relatives aux observations ajoutées. On formera ensuite, de toute» ces» équations, par la méthode la plus avantageuse, quatre équations finales qui détermineront les inconnues a, A, A et /. Cela posé, les équations (t), (a), (3) et (4) du n° 36 du second Livre , donnent les suivantes :

r-=^- a R*.ccMO-*)-t-R- («)

V = i R . ( © et) - ±) - 1 bx ; («0

hj =— x (A* . tangô + i Z-f- jfl'.sinô.cos 8 );(o") -f- iR.sinfl.cos0. cos(Q — *) (gj — p)j

cos" I 1 ' cos* * coi* t

+ V [=îi2pi! - (R' - .) cos (O - « )]; («")

— mx £(R'— i) sin (O — «) 4- SïiiO^O]

Ces équations sont relatives au mouvement parabolique ; r est le rayon vecteur de la comète, au moment de l'observation prise pour époque; R, est le rayon vecteur de la Terre, sa moyenne distance au Soleil étant prise pour unité ; O est la longitude du Soleil, à l'instant de l'époque ; R' est le rayon vecteur de la Terre , lorsqu'on augmente O d'un angle droit ; et et 6 sont les longitudes et les latitudes géocentriques de la comète au moment de l'époque; x est la distance de la comète au centre de la Terre, projetée sur le plau de l'écliptique. Enfin

dx * jr désigne ^.

11 y a, comme on voit, plus d'équations que d'inconnues; ce qui doit avoir lieu dans le mouvement parabolique, en vertu de la supposition du grand axe infini ; il faut donc alors ou choisir entre les deux équations (V) et (a"), ou les combiner de la manière la plus avantageuse. J'avais proposé dans le second Livre , d'employer l'équation (V), ou l'équation (a' 1 ) , selon que b est plus grand ou plus petit que /. Mais depuis, m'étant fort occupé de l'influence des erreurs des observations, sur leurs résultats ; j'ai reconnu que le moyen le plus propre à diminuer ici celle influence, consiste [à combiner ces équations, en multipliant l'équation (a') par a 7 l'équation (a") par h, et en ajoutant ces produits; en qui donne l'équation suivante :

f[fl.sin(0 —«) — /*. slnd . cosfl.cos(0— «)] /i i \-j

j »(«' + *•) K? ~ SO

— x (A 3 . ■Un B a + jaM-l« + y«*A • **** • co*fl) a'+ A*

On combinera donc cette équation avec les équations (a) et {a'") , pour avoir les valeurs de x, y y r. On fera une première supposition pour x, et l'équation (a) donnera la valeur correspondante de /•; ensuite l'équation (a 1 *) donnera la valeur de^. Ces valeurs substituées dans l'équation (a'") doivent y satisfaire , si la valeur de x a été bien choisie. Si cette équation n'est pas satisfaite, on prendra une seconde valeur de x; et ainsi de suite. Quelques essais feront bientôt connaître la vraie valeur de x. On en conclura, comme dans le n° 36 du second Livre, la distance périhélie, et l'instant du passage de la comète par le périhélie. On formera la quantité