LIVRE XI

passant toujour* par Taxe des x, il-formë un angle arbitraire « avec ce plan : en nommant y 1 et *' les coordonnées rapportées à ce nouveau plan, on aura

fz=jr.cost — a.sin«,

1 V= a.cos«-f-7'.sin«; •

ce qui donne — -

J%y.dm= a.ÇtM H- H*>).co« — «t.(H <0 »f- H' 0) ) . sin s, /xâ'.^sra.fHW^H'^.cosi+a.^W + H^.sinÉ, // ?. dm = «.(H« + H'W).(cos»i— sin««)

-h * . (H<»> H- H'<») . sin € . cos «.

L'axe des x sera un axe principal de rotation, autour duquel la Terre tournera librement, si l'on satisfait aux trois équations

fxy.dm — o, fxz'.dm = o ) fjr' ? . <£n = o.

Les deux premières donnent

HW + H'Wssso, Hf>-f-H'^ = o.

La troisième donne '

tang 3« — nO) + n&C ' '

Pour que le centre de gravité de la Terre soit libre) et dans l'axe prin- cipal de rotation, il faut que l'on ait pour toute la Terre ,

flc.dm=zo y ff .dm = o, fî'. dm = o;

or on a pour le sphéroïde terrestre

fx . dm = ^ . /> . dp ,.<fcr,. d . af> .( i -H &y , Jy.dm= l -.fi.dfi,.fa t .d.a*.(i+ar t Y. \/i — f* , .cos« 1 ; fi.dm=*±.fp.dfA,.div l .d,a*.(t+cLj t ¥. V i— fiS,ânnr.

6a MÉCANIQUE CÉLESTE,

fin subefituànt pbur f*, \Zi—ft%ein4r$ \f \— n\ix*<* , leurs

valeurs en f*. et <sr, , on aura '.7 ., ,. :

fx.dm=&.fp.dp l J& i d.a*jr,.[<mA.fi l +s\o.K.y/ 1— /*,».«*(«•,— II)], f^xùns=et.fp.d^ t .dtf l .d.a^ t .{cqsA.y/ 1— /*,*.coa(<w,— n)— sinA . p,], fï.dm=xfpJp,.d<& t .d.a i jr l .\/i--fA l \sin (<bt, — n).

il ne faut, par Je n* cité du troisième livre de la- Mécanique céleste, considérer dans/, que ïa quantité ^'expression générale de cette fonction est

Il faut, par ce qui précède, augmenter Y°>, delà fonction (a). On aura ainsi relativement au sphéroïde terrestre,

fx.dm = cosA .(fp.d.a*<p>+<?> .ff.d.*)

l+cosn.CTp.i.^+QW.yp.^^j »

Kdm- ^cosAÎ «nn.(/p.rf.^o +Q co. /p . rf . fl m

~| . »in A . [/> .d.vty»^($» .fp.d.d*),

fz.dm*- ^-{^[ n n.\fp.d.a*<f^Q^ ./p.d.a^] }

Soient aL (0) , aL 0) , aL Ci) , ces trois valeurs de fx.dm >Jjr. dm, fzdm; et désignons par «V Co) , *L' 0) ^ les mêmes intégrales relatives à

la mer. La condition que l'axe principal passe par le centre de gravité de la Terre entière et soit l'origine des rayons terrestres, donnera les trois équations

LITRE XT. 63

ces Jjpis. équations réunies aux précédentes

tang «a—^pj-ljfpjS

détermineront les six indéterminées A, H, e, Q ? ty\ Q*">; et alors l'axe de rotation sera un axe principal , et passera par le centre de gravité de la Terre. L'existence d'un pareil axe est donc toujours possible, et les -observations prouvent que tel «s*, l'axe actuel de «Ration

de la Terre. ... - r . ,.

On a relativement à la mer,

fxy.dm = Jxj^l/ . d<sr, ,

«y étant sa profondeur ; mais les intégrales relatives à et <r, ne peuvent être prises depuis ft,=:— i jusqu'à f*, = i , et depuis «,so, jusqu'à <w, = a-ff, que dans le cas où la mer recouvre entièrement le sphéroïde terrestre. Considérons ce cas particulièrement : alors, il ne faut substituer pour <lj\ que sa partie aY' (tJ . L'équation (4) du n° a du chapitre précédent donna

Yen. 5./>.rf.a a Y <0 e

les quantités Y** 5 , 1***, Y** 5 , se rapportant ici à l'axe des /*. Mais rapportées à l'axe des yt;, elles restent les impk&> : .elles ne sont que des manières différentes d'exprimer les fonctions du rayon terrestre et du rayon de chaque couche du sphéroïde, comprises dans la forme aY (t) , ou assujetties à Jà même éduation aux différences- partielles. La partie de Y* 0 , dépendante' de «p^ne produit aucun terme dans H' w , H 'C0 } jj/cr W*) JPav Mte wir, «rosVlérons Ja valeur de H<°>, ou

l'intégrale fxjr.^'^^dft^dwt- H e«t~facile de voir que l'on peut donner à cette intégrale, cette forme Jcçjr.Y'^ .dfA.dwi les limites des Intégrales relatives à /* et *r, étant cqmme pour fi t et "W,, /*=-— 1, f*= 1, ey=o , «•= aTr. Alors en substituant dans l'intégrale

fxj.Y'V.dfA.dir, fz \/i — /uVcos'ar, pour je/, et 8 V 3 ,

pour Y' (,) ; on voit que cette intégrale est nulle; ainsi cette partie de Y' w ne produit aucun terme dans H' (0) , et l'on trouverait de la même manière qu'elle n'en produit aucun dans H ,(,) , H' w , et H' (1) . L'autre partie de Y' co peut être exprimée par

*' Co) • (/",*— g) -f- A' co - A*. • Vi— », -f À'« . V'i— M.* • «»

-j- A'CO . ( ! . sin a<ar, -f A'«> . ( i — fA*) . cos 34T , ;

et l'on aura

£0) 3./>.rf.«W0

A'CO- y rf ° 3 • (0

en faisant successivement, j = o, j=i, $ = a, $ = 3, 5 ==4- Cela posé ; les équations

ffH^ao, H<'>-t-H' w = o,

donnent les suivantes

o= sinaA . J— sinan.(A'W-f-/p.rf.aW J >) f

-cosaA./ rinn.(ff«+/>.rf.«W'>) j l+cosn.(A'« + /p.d.aW'>) 1'

o= cos A . [ 0080 ' ( A ' () + fp'J'M") \ l— sin II . -f- fp.d.aW>) J

•4-asinA f ootan.(*W + / p .rf.o»AP>) |

Désignons par / et les coefficiens de sin aA et de cos 2 A, dans la première de ces deux équations; et par m et », les coefficiens de sin. A