LIVRE XI

points semblablement situés sur les surfaces de deux corps homogènes, semblublos et de même densité, est proportionnelle aux dimensions linéaires et semblables de ces corps. Cela résulte de ce que l'attraction étant égale à la masse divisée par le carré de la distance, elle n'est que d'une dimension relativement à l'étendue. De là il suit que le poids de la colonne du pôle , étant la somme des gravités aux surfaces des diverses couches, il est égnl ait produit de la pesanteur au pôle; par la moitié de la longueur de cette colonne, ou par le quart de l'axe du pôle.. Un raisonnement semblable fait voir que le poids de la colonne de l'équateur est le produit de la pesanteur à l'équateur, par le quart du demi-axe de réquateur. Car la pesanteur à l'équateur est la gravité diminuée de la force centrifuge; et cette force diminue de la surface au centre, comme la gravité, c'est-à-dire proportionnellement à la distance à ce point. Ainsi dans l'état d'équilibre, le produit de la gravité au pôle, par l'axe du pôle, est égal au produit de la pesanteur à l'équateur, par l'axe de réquateur.

Pour avoir au pôle, la gravité qui, sur ce point, est la pesanteur même, •Newton considère un ellipsoïde de révolution, dont l'axe de révolution contient 100 parties, et l'axe de l'équateur 101 ; et il trouve au moyen des propositions qu'il établit sur la gravité aux pôles des sphéroïdes de révolution , que la gravité au pôle de cet ellipsoïde est à la gravité à lu surface d'une sphère dont le diamètre est de 100 parties, comme 126 est à 1 a5.

Newton obtient de la manière suivante, la gravité à un point quelcompie A de l'équateur du même ellipsoïde. Il considère une sphère ayant le même centre que l'ellipsoïde, dont la surface passe par le point A , et dont le diamètre est, par conséquent, de 101 parties; et il observe que si l'on diminue d'une partie, un des diamètres perpendiculaires à celui qui passe par le point A , de manière que ce diamètre ainsi diminué devienne l'axe d'un ellipsoïde de révolution, passant par le même point; ce point sera un point de l'équateur de cet ellipsoïde. Newton remarque ensuite, que si l'on diminue pareillement d une partie, le diamètre de la sphère, perpendiculaire aux deux premiers; On aura un second ellipsoïde de révolution, dont A sera encore un point de l'équateur. Si l'on fait varier à la fois les deux derniers diamètres ; on aura un ellipsoïde de révolution dont A sera le pôle , et dont l'axe de révolution aura 101 parties, l'axe de l'équateur n'en ayant que 100. Dans cet

ellipsoïde, la gravité au pôle est à la gravité à la surface de la sphère dont le diamètre est de 101 parties, comme ia5 est à ia6. Mais par la nature des variations très petites de deux quantités, la diminution de la gravité, due à la diminution simultanée des deux diamètres, est la somme des diminutions de la gravité, lorsqu'on diminue le second diamètre sans diminuer le troisième, et lorsqu'on diminue le troisième, sans diminuer le second ; et cette somme est le double de l'excès de la gravité à la surface de la sphère, dont le diamètre est de 101 parties, sur la gravité à l'équateur de l'ellipsoïde, dont l'axe de l'équateur étant de 101 parties, l'axe du pôle est de 100 parties. De là il est aisé de

conclure que cet excès est ^ . ^ de la gravite à la surface de cette

sphère. Mais cette gravité est à la gravité à la surface de la sphère dont le diamètre est de 100 parties, comme 101 est à 100; d'où l'on conclut que la gravité au pôle de l'ellipsoïde supposé primitivement , est a la

...» , ia6 . i«5| , ,

gravité a son equateur, comme . 100 : • 101 , ou , à très peu

près, comme 5oi est à 5oo. Désignons par Q le rapport de la force centrifuge à la gravité, à l'équateur; les pesanteurs au pôle et à l'équateur de l'ellipsoïde seront donc dans le rapport de 5oi à 5oo (i — p). Ces pesanteurs multipliées respectivement par les longueurs des colonnes fluides, ou par 100 et loi, sont proportionnelles aux poids de ces colonnes. Ainsi, pour l'égalité de ces poids, ou pour l'équilibre, le produit de 5oi par 100, doit égaler le produit de 5oo.(i — <p) par 101 ;

ce qui donne à fort peu près p égal à ou égal à | de l'aplatissement ^ de l'ellipsoïde. L'aplatissement d'un ellipsoïde quelconque

très peu différent de la sphère , est donc généralement égal à - du

rapport de la force centrifuge à la gravité à l'équateur; et comme pour

la Terre, ce rapport est il en résulte un aplatissement égal à

en sorte que les axes du pôle et de l'équateur sont à fort peu près dans le rapport de 22g à 2Z0. Les pesanteurs à ces points sont, comme on l'a vu, réciproques à ces axes; elles sont donc dans le rapport de a3o à 22g. Newton suppose que de l'équateur aux pôles, la pesanteur croît comme le carré du sinus de la latitude.