LIVRE XI

Cette équation donne à la surface, où rso, là partie de la chaleur, relative à rexponentielle c— , égale à

L'accroissement de la chaleur, à la profondeur s' au-dessous de la sur-

jp\ et en vertu de l'équation (a), ce terme devient yV .V, en ne considérant dans la valeur de Y à la surface , que la partie de la chaleur, qui est indépendante de l'action des causes échauffantes à l'extérieur. 11 est remarquable que cet accroissement /a' .V de la chaleur, soit indépendant du rayon du globe, et de la manière dont il est échauffé intérieurement, et qu'il ne dépende que de la chaleur des couches voisines de la surface, et de la manière dont elles perdent leur chaleur. Dans le cas présent, si l'on nomme h la valeur de V, à l'origine du temps t, à la surface; on aura

àl — h

et par co^en,

Au centre, où r est nul , cette expression donne à fort peu près

\ = af.k.c «'* 'V. *fJ;

la température est donc à ce point, incomparablement plus grande qu'à la surface. L'accroissement de température, à une petite profondeur z', comptée de la surface, est , ,

J'observerai ici que l'analyse par laquelle je viens d'intégrer l'équation (3) , s'applique aux équations générales du mouvement des fluides ; et que c'est ainsi que j'ai déterminé dans le quatrième livre, les oscillations d'un fluide qui recouvre une sphère immobile, et qui est attiré par un astre en mouvement.

Les valeur* de \ £o >, Y", Y<«>, etc. «ont déterminées par l'état initial de la chaleur de la sphère. Je vais donner pour cet objet, une méthode simple et qui peut s'étendre à beaucoup d'autres cas.

Je suppose que l'état initial de la chaleur soit exprimé par la fonction

flw + W> -f. U« . . . . 4. U c< > -f- etc. ;

étant une fonction rationnelle et entière de p, — ft*. sin'îr, et V< — f**. cosw, assujettie à la même équation aux différences partielles que Y co , c'est-à-dire telle que l'on ait

les coefficiens arbitraires de étant ici, des fonctions de r. Soit f (f) un de ces coefficiens, et r$(r)arf'; on aura par ce qui précède.

En supposant t nul dans l'expression de Y, il est facile de voir que l'on aura

r.*(r) as À<*> .><•> + A<" . y™ -f- A« . ?'« + etc.,

9* t * î » y"' 0 *» 9*°» e,c > ^t* 11 ' I e » valeurs de cf correspondantes aux diverses racines de l'équation (4); A w , A 0) , etc., sont les arbitraires qui multiplient ces valeurs, et qu'il s'agit de déterminer. Pour cela, on multipliera l'équation précédente par dr.q w 9 et l'on prendra l'intégrale depuis r nul jusqu'à rasa, ce qui donne

fdr.q'Vr*{r) = À« .W»Jr+ A<*> .fq'« f >q™dr+ etc. Maintenant on a v -

Pour le faire voir, nous observerons que l'on a, et ^ étant nuls avec r, . . : >

J\ dr Tr / ~~ dr dr

LITRE XI. 79 Le premier membre de cette équation devient, en y substituant pour et *ïgL\ leurs valeurs qui résultent de l'équation différentielle

en (j'y

n (,) et n (l) étant les valeurs de n relatives aux racines de l'équation (4) correspondantes à / (,) et tf 1 '*. De plus, à la surface, on a

2F dr -°5

car Péquation à la surface

donne les deux suivantes

ij» =(!-/)./<•>;

on a donc

o = WW>.dr.(hP)'— De là , il est aisé de voir que Ton a

ce qui donne

A — /ir-^ '

les intégrales étant prises depuis r=o jusqu'à r=a. En changeant ç' w en y /(,> , etc., on aura les valeurs de A (,) , À w , etc.j d'où l'on tire le théorème suivant :

Si l'on forme la quantité

n w n'étant point nul, et les intégrales éfant prises depuis r nul jusqu'à r égal au rayon a de la sphère; si l'on désigne ensuite par Q (J) la somme de toutes les quantités correspondantes à * = o, s=t i, etc., jusc|u'à * infini ; l'expression dé h ehafenr V après un temps quelconque f , sera

la somme des valeurs de Q" correspondantes à * = o, 1=1, etc., jusqu'à i infini.

Dans le cas où l'état initial de la chaleur, ne dépend que de r, est nul, lorsque i est égal à l'unité, ou plus grand j l'expression de la chaleur se réduit alors à Q w ; et l'on a le résultat intéressant que M. Fourier a donné le premier, pour ce cas.

J'ai supposé l'état initial de la chaleur, développé sous la forme U w -f- U (l) -f- etc. : ce développement est aussi naturel à admettre que tout autre. U est facile d'ailleurs par le procédé du n* 16 du troisième Livre, de donner cette forme à toute fonction rationnelle et entière des coordonnées orthogonales. On pourrait aisément par l'analyse de ce troisième livre, obtenir cette forme, au moyen d'intégrales définies; mais comme cela ne conduit à aucun résultat utile, nous nous abstiendrons de nous en occuper.

On aura ainsi égard à la partie de / de l'équation (2) , qui est indépendante des fonctions périodiques du temps , et que nous avons exprimée par Y' Co) -r- Y' co -f-etc. On a vu qu'il en résulte dans la température finale, la chaleur

+ - . — r + - t • —7 + etc.

Il est facile d'en conclure par l'analyse précédente , que si l'on forme la quantité

a<'> n'étant point nul, et les intégrales étant prises depuis r nul jusqu'à r égal au rayon a de la sphère ; si l'on désigne ensuite par 0 e0 la somme de toutes les quantités correspondantes à 5=0 , £=1, jusqu'à j= infini; l'expression de la chaleur V après un temps quelconque, sera la somme de toutes les valeurs de

correspondantes à isso, 1=1, etc., jusqu'à i infini.