LIVRE XI

J'ose espérer que les géomètres verront avec quelque intérêt, cette nouvelle application de l'analyse par laquelle j'ai déterminé la figure des corps célestes et la loi de la pesanteur à leur sur^pe.

io. Je vais maintenant considérer la diminution de la durée du jour, due au refroidissement de la Terre : pour cela , je supposerai que la densité des couches terrestres, croît de la surface au centre, et que cependant leurs propriétés pour contenir et pour émettre la chaleur, sont les mêmes que si elles étaient homogènes, en sorte que l'expression précédente de Y leur soit applicable. Je supposerai de plus, ces couches fluides, ou du moins assez molles, pour qu'elles prennent sans résistance, la figure que la compression tend à leur donner. La masse de la couche dont p est la densité, dont r est le rayon et dr l'épaisseur à l'origine du temps /, est proportionnelle à pi*dr. Après le temps <, elle sera proportionnelle à

la caractéristique £ servant à exprimer les variations relatives au temps. En égalant ces deux expressions de la masse de la couche, et négligeant le carré de <f , on aura

Pour avoir la valeur de <fp, je supposerai que pour un degré centigrade de diminution dans la température, pris pour unité de température, la densité p de la couche augmente de it> , i étant une très petite fraction que je supposerai la même à toutes les températures et pour toutes les couches terrestres. En exprimant par ^V, la diminution de la chaleur de la couche après le temps /, on aura

on aura donc

rf.(r» < rr)4-i < rV.r*d>=o;

et en intégrant

Maintenant, si l'on désigne par ? la vitesse angulaire de rotation de la Terre, à l'origine du temps; la somme des aires décrites par toutes ses

MécAif. céj.. Tome y. n

8a MECANIQUE CELESTE,

molécules, pendant une unité de temps, sera proportionnelle à <(fpr*dr; sa variation sera donc proportionnelle à la variation

S<pfir*dr+<p.fî?.r*dr+ ^ff^r.dr^<p/pr*d.^r.

En substituant pour <JV et dfr, leurs valeurs tirées des équations précédentes , cette variation devient

J> .ftr*dr — aàp .f(prdr.ff\ . r'dr).

En égalant à zéro cette fonction, en vertu du principe de l'égalité des aires; on aura

7 T^Tr I 5 )'

J'adopterai pour p, l'expression la plus simple d'une densité variable, celle d'une densité croissante en progression arithmétique , ce qui donne

e étant une constante, et (f>) étant la densité à la surface. On a par ce qui précède,

,v= AS . [, .-S •(-*)•]. i . (, g,

ou à fort peu prés

On a ensuite, en intégrant depuis r nul jusqu'à r=a,

*f(f>rdrff\. r'dr= (i -f- e) (p)a\f£V. r'dr — ('+e)(p)ffY.r*dr

-^«(fO./efVrV/r On a généralement à fort peu près,

7«H-.-« n a -*^— Sj; — ;\i p h ^ etc.);