CHAPITRE IL

Sur V attraction des Sphères, et sur la répulsion des fluides

élastiques.

ewtoh a démontré ces deux propriétés remarquables de la loi d'attraction réciproque au carré de la distance; l'une, que la sphère attire un point situé au dehors , comme si toute sa masse était réunie à son centre ; l'autre, qu'un point situé au dedans d'une couche sphérique, ne reçoit de son attraction, aucun mouvement. J'ai fait voir dans le second livre, que parmi toutes les lois d'attraction décroissante à l'infini, par la distance, la loi de la nature est la seule qui jouisse de ces propriétés : dans toute autre loi d'attraction, l'action des sphères est modifiée par leurs dimensions. Pour déterminer ces modifications, je partirai des formules que j'ai données dans le n* i a du second Livre , en conservant les mêmes dénominations. J'ai trouvé l'attraction d'une couche sphérique dont u est le rayon, et r est la distance d'un point extérieur à son centre, égale à la différentielle prise par rapport à r, et divisée par dr, de la fonction

»îï.[4,(r+«)+(r«)].

Dans cette fonction , it est le rapport de la circonférence au diamètre ; 4(r) est jrdr.<p,(r) y et $,( r ) ^ fdr.Q(r), f( r ) exprimant la loi de l'attraction. Enfin , l'attraction de la couche est supposée dirigée vers son centre.

Désignons fdr.-$(r) par 4/( r )i /^-4/( r ) P 41 * 4/<( r )> et ain *i de suite. La fonction précédente multipliée par du, et intégrée depuis

LIVRE Xll. IO , ms=o, jusqu'i usssR, R étant le rayon de la sphère, devient

£ fM4,C''+R) + 4,(r-R)]}

Oit

~ • mL r ]•

La différentielle de cette fonction, prise par rapport à r et divisée par dr, donne pour l'attraction d'une sphère de la densité p,

-^••^[ 4 ' Cr+R) f 7^ (r - R) 3 (A)

Si l'on suppose la loi d'attraction $(r) égale à /—»!-•; cette formule devient, en désignant par M la masse de la sphère,

3M / (r+R)3— (r-R)3-«-.(3-«) [(r+R)'— +(r-R) '—3.Rr \ ^ÏFV : (i-f-*).(i— ).(5-«) / ( B )

Si le point attiré est à la surface, on a r=R, et cette fonction devient

A une grande distance r, la même fonction devient M.r— »— «• ce n'est donc que dans les deux cas de «s=jo et de *s= — 3, que l'attraction à la surface de la sphère, est à l'attraction à une grande distance, dans le rapport donné par la loi de l'attraction, c'est-à-dire, dans le rapport deR- a — àr'- •

Lorsque Newton voulut reconnaître l'identité de la force qui retient la Lune dans son orbite, avec la pesanteur ; il supposa que la pesanteur d'un corps qui s'élève successivement de la surface de la Terre, diminue suivant le rapport des distances, donné par la loi d'attraction de la nature. L'exactitude de cette supposition que ce grand géomètre a démontrée depuis, lui aurait fait voir cette identité, s'il n'avait pas employé une mesure fautive de la Terre.

Dans le cas de «s — i, le numérateur et le dénominateur de la formule (B) deviennent nuls, et l'on trouve par les méthode que cette formule devient

loa MÉCANIQUE CÉLESTE,

Considérons présentement, l'attraction d'une couche sphérique, sur un point placé au dedans, à la distance r de son centre; R et r étant les rayons des surfaces extérieure et intérieure de la couche. L'attraction d'une couche dont u est le rayon, du l'épaisseur et p la densité, est par le n* la du second Livre,

U faut intégrer cette quantité depuis a=r' jusqu'à u = R. Ou trouvera par l'analyse précédente, que cette intégrale est

— *«P- r dïdî'L ~r? J

En comparant cette formule « la formule (A), on voit que l'attraction de la couche sphérique sur le point intérieur, est la différence des produits des attractions de la sphère intérieure dont le rayon est r, sur deux points placés aux surfaces extérieure et intérieure de la couche,

multipliées respectivement par — et ; ce qui donne l'attraction de

la couche sur un point intérieur, lorsque Ton a l'attraction de la sphère sur les points extérieurs.

Si Ton suppose le point attiré, à la surface intérieure de la couche; /•' devient r: en ajoutant à la formule (C) , l'attraction de la sphère dont le rayon est r, sur un point placé à sa surface, la formule (C) deviendra

c'est l'expression de l'attraction de la sphère dont le rayon est R, sur un point de son intérieur, placé à la distance r du centre. La comparaison de cette formule avec la formule (A), donne le théorème suivant :

u L'attraction d'une sphère sur un point de la surface d'une petite » sphère intérieure concentrique à la première, est à l'attraction de la » petite sphère, sur un point de la surface de la grande, comme la /) grande surface est à la petite. »