LIVRE Xll. io

De là il suit que l'attraction entière d'une sphère sur la surface de l'autre, est la même pour chacune d'elles.

Je vais maintenant considérer l'attraction mutuelle de deux sphères, l'une sur l'autre. Soient R et R' leurs rayons , p et p' leurs densités et r la distance de leurs centres. On peut considérer la première sphère comme si sa masse était réunie k son centre et attirait les points extérieurs suivant une loi d'attraction exprimée par la formule (A). En vertu de l'égalité de l'action à la réaction, un point attire une sphère, comme il en est attiré; ainsi, pour avoir l'action de la seconde sphère sur la première, il faut supposer la loi d'attraction, exprimée par la fonction (A). En désignant donc cette fonction par '^(r), on aura

ce qui donne frdr.'$ t {r) , que nous désignerons par '4( r ) , égal à

Si l'on substitue cette valeur de '4 Wi au l^u de dan* la formule (A), cette formule dpnnera pour l'attraction de la seconde sphère sur la première,

l rRR J

ce sera aussi l'attraction de la première sphère sur la seconde; c'est-â-dire, que l'on peut supposer les deux sphères réunies respectivement à leurs centres, et agissant l'une sur l'autre suivant une loi d'attraction , exprimée par la fonction (E) divisée par le produit des masses ou par

— . Tfùtf. R s , R".

Dans les sept intégrations qui déterminent • T >( r )> 00 ne P 0 " 11 s'inquiéter de l'origine de chaque intégrale. Cette origine peut être différente à chaque intégration, sans qu'il en résulte aucun changement dans la formule (E). En effet, un changement arbitraire d'origine à

Méca». cél. Tome F. ïo

i 9 4 MÉCANIQUE CÉLESTE,

chaque wt^gr»^«, introduit dans 1a fonction 4,(r) dérivée de f(r),

la fonction

A, A", eto., «jtant de» constantes arbitraires ) et il est fecife de voir que cette fonotion auixtUuëe pour 4*»W ^ ans la formule (E) la rend identiquement nulle.

Si l'on suppose ^(r)^=-j on aura

et la formule (E) devient

y.w'pp'. R 3 . R'*.

c'est-à-dire que les deux sphères s'attirent comme si leurs masses étaient réunies à leurs centres; ce qui est; conforme à ce que Newton a démontré.

3. Les formules précédentes s'apphquént évidemment à la répulsion des fluides élastiques contenus dans des enveloppes sphériques , pourvu que la densité du fluide , soit partout la même.

Si l'on nomme p la pression du fluide, et si l'on désigne par <p la force répulsive d'une sphère fluide, dont R est le rayon, et p la densité, sur un point placé à la distance r de sou centre, et qui éprouve la pression p; on aura par le n* 17 du premier Livre,

dr étant l'élément de la direction de la force répulsive qui agit en sens contraire de la force attractive. <p est la fonction (D); f$dr est donc cette fonction dans laquelle on supprime la difierentiation par rapport à r; et alors on a p= constante

, -4-3W.,p *. — . Mil - M.' -ft . ■»■ ■ / l (»)

Newton a supposé entre les molécules de l'air, une force répulsive

LltRE XII. io5

• ■ " j réciproque à leur distance, ce qui revient à supposer $(/•)==-. Cette

supposition dortne

Cette valeur substituée dans là fonction (F), est foin de représenter les Observations qui donnent p constant ; aussi ce grand géomètre ne donne-t-fl a Cetté loi de répulsion , qu*une sphère d'activité d'une étendue insensible. Mais la manière dont il explique ce défaut de continuité, est bien peu satisfaisante, il faut sans doute admettre entre les molécules de Pair , uné force répulsive qui ne soit sensible qu'a des distances imperceptibles : la difficulté consiste à en déduire les lois que présentent les fluides élastiques. C'est ce que l'on peut faire par les considérations suivantes.

J'observe d'abord qu'une molécule de gaz ou de fluide élastique , contenue dans une enveloppe sphérique, n'étant point en contact avec les molécules voisines; elfe doit être en équilibre, en vertu de toutes les forces répulsives qu'elle éprouve; en sorte qne * doit être nul dans l'équation

dp = p<pdr;

ee qui donne k pression p constante dan* toute l'étendue du dinde. Erf supposant donc conformément à l'expérience, -la pression p fonction de la densité dans le» fluides élastiques, à une température constante j on voit que lai densité o doit être supposée la même dans toutes les parties du fluide. Non» démontrerons ei-aprèd, ce résultat de l'expérience, pour tous le» point» du fluide placés à une distance de l'enveloppe, plus grande que le rayon de la sphère d'activité sensible de la force répulsive.

Maintenant , je suppose les molécules des gaz , à une dislance réciproque, telle que leur attraction mutuelle soit insensible;, ce qui me! parait être la propriété caractéristique de ces fluides, et même des vapeurs, de celles du moine, qui par une légère compression , , ne se réduisent point en partie , à l'état liquide. Je suppose enéutte que ces molécules retiennent par leur attraction, la chaleur; et que leur répulsion mutuelle soit due à la répulsion des molécules de la chaleur, répulsion dont je suppose l'étendue dè la sphère d'activité, insensible.

io6 MÉCANIQUE CÉLESTE,

Soit c la chaleur contenue dans chaque molécule de gaz ; la répulsion de deux molécules sera évidemment proportionnelle à c\ En nommant donc r leur distance mutuelle, nous exprimerons la loi de répulsion de deux molécules de gaz, par Hc*.^(r), Ç(r) devenant insensible lorsque r a une valeur sensible. H est une constante qui dépend de la force répulsive de la chaleur, et qui semble ainsi devoir être la même pour tous les gaz : mais, pour plus de généralité, je la supposerai seule» ment constante pour le même gaz. J'imagine présentement une enveloppe sphérique, remplie d'un gaz quelconque. On vient de voir que la pression et la densité seront les mêmes dans tous les points de cette sphère, placés à une distance sensible de l'enveloppe. Je conçois ensuite une sphère intérieure concentrique à l'enveloppe, dont R soit le rayon à très peu prés égal à celui de l'enveloppe, de manière cependant, que la densité de la couche du gaz qui recouvre cette sphère puisse être censée constante dans une étendue égale ou supérieure à celle de la sphère d'activité sensible de la force répulsive de la chaleur. Si l'on nomme r le rayon d'une molécule de cette ^touche, la formule (A) du n* 3, donnera

pour la force répulsive que la sphère exerce sur cette molécule de la couche. En effet, la nature des forces qui ne sont sensibles qu'à des distances insensibles rend 4/i( r ) insensible, lorsque r a une valeur sensible. Sur quoi, j'observerai qu'en vertu de cette nature, -$(r) est incomparablement supérieur à 4/( r ) ; 4/( r ) ^ incomparablement supérieur à 4«( r )> et ainsi de suite. J'affecte l'expression précédente du facteur Hc% parce que p(r) a ce facteur. La fonction précédente devient encore par

11 faut multiplier cette fonction par t^rp^dr, P 01 "* avou * l'action répulsive de la sphère intérieure , sur la couche extérieure dont p est la densité, r le rayon, et dr l'épaisseur. Soit r — R = s t s étant une quantité imperceptible ; la fonction précédente devient à très peu près en observant que r est supposé différer extrêmement peu de R ,

:«r\Hc»f\4R\k.4(*).