LIVRE XI

Maclaurin , suivant la méthode synthétique , donnait à celte méthode , un avantage sur l'analyse, que l'on devait s'empresser d'autant plus de faire disparaître, qu'il était naturel d'attendre de l'application de l'analyse à cet objet, non- seulement un moyen plus simple d'obtenir les résultats de Maclaurin, mais encore une théorie complète des attractions de ce genre de sphéroïdes. C'est, en effet, ce qui est arrivé. Dans les Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin, pour l'année 1773, Lagrangc , par une transformation heureuse des coordonnées , est parvenu anaîytiquemeut et de la manière la plus simple, aux résultats de Maclaurin : il les a étendus à des ellipsoïdes quelconques , et il en a déduit ce théorème que Maclaurin n'avait fait qu'énoncer, et que d'Alembert a démontré le premier, savoir, que l'attraction d'un ellipsoïde quelconque sur un point placé dans le prolongement d'un de ses axes, est à l'attraction d'un sphéroïde qui aurait le même centre et les mêmes foyers, et qui passerait par le point attiré, comme la masse du premier sphéroïde est à la masse du second. 11 restait, pour compléter cette théorie, à déterminer l'attraction d'un ellipsoïde sur un point „ quelconque placé au dehors. M. Legendre, dans le tome X des Savans étrangers, l'a fait à l'égard des ellipsoïdes de révolution, par une analyse ingénieuse et savante qui donne pour tous les sphéroïdes de révolution, un rapport très simple, entre leur attraction sur un point placé dans le prolongement de leur axe de révolution , et leur attraction sur un point placé dans le prolongement d'un rayon quelconque, à la même distance du centre. Relativement au* ellipsoïdes de révolution , ce rapport fait voir que le quotient de l'attraction sur un point quelconque extérieur, divisée par la masse, est le même pour tous les ellipsoïdes de révolution qui ont le même centre et les mêmes foyers; et comme l'attraction à la surface est donnée par les théorèmes de Maclaurin j il ne s'agit, pour avoir l'attraction sur un point quelconque au dehors, que de faire passer par ce point un de ces ellipsoïdes , ce qui est facile. Il était naturel d'étendre ce résultat, aux ellipsoïdes qui ne sont pas de révolution. Mais sa démonstration présentait beaucoup de diflicultés. Je l'ai donnée le premier, dans un ouvrage sur la Théorie du mouvement elliptique et de la figure des planètes, qui parut en 1784 > et dans mon Traité de Mécanique céleste. Ayant établi un rapport général entre les attractions d'un sphéroïde sur un point quelconque extérieur, et ses attractions sur les points placés dans le prolongement

Mécan. cèv. Tome a

i o MECANIQUE CÉLESTE ,

il un de ses axes, et dans le plan perpendiculaire à cet axe; j'en ai déduit une nouvelle démonstration du résultat dont il s'agit. Enfin, M. Ivori est parvenu au môme résultat pat une transformation très heureuse des coordonnées, sans recourir aux séries. Tel a été le progrès des recherches par lesquelles les géomètres sont parvenus à une théorie complète des attractions des ellipsoïdes.

Maclaurin a fait voir qu'une masse fluide homogène, tournant autour d'uu axe, pouvait être rigoureusement en équilibre avec une figure elliptique. Mais y a-t-il d'autres figures d'équilibre, lorsque le sphéroïde est très peu différent de la sphère? J'ai prouvé, sans connaître sa figure, que la pesanteur à sa surface suit la même loi que si cette figure était celfe d'un ellipsoïde de révolution. M. Legendre a fait voir ensuite que si la figure est do révolution, elle doit, pour l'équilibre, être elliptique; et j'ai reconnu que cela est exact, sans supposer une ligure de révolution. Mais d'Alembert a prouvé que plusieurs figures elliptiques d'équilibre correspondent a une même durée de rotation. J'ai démontré ensuite qu'il n'y en a que deux; et j'ai déterminé la limite de la durée do rotation que la masse peut avoir sans se dissiper. Mais le véritable problème à résoudre, consiste à déterminer la figure qu'une masse fluide doit prendre, lorsque ses molécules ayant été primitivement animées de forces quelconques , elles parviennent , à la longue, par leur frottement mutuel et par leur ténacité, à un état fixe d'équilibre. J'ai fait voir dans le troisième livre de la Mécanique céleste, que le fluide finit par prendre la figure d'un ellipsoïde de révolution dont l'équateur est le plan primitif du maximum des aires décrites par chaque molécule autour du centre de gravité de la masse. Le mouvement de rotation, ainsi que les axes de l'ellipsoïde de révolution, sont déterminés par ce maximum : il y a toujours une figure possible d'équilibre , et il n'y en a qu'une.

Enfin, j'ai donné dans les Mémoires de l'Académie des Sciences, pour l'année 178a, et dans le troisième livre de la Mécanique céleste, une théorie générale des attractions des sphéroïdes. La fonction qui exprime la somme des molécules attirantes divisées respectivement par leurs distances au point attiré, a l'avantage d'exprimer par ses différences partielles, la résultante de ces attractions décomposées suivant une direction quelconque. J'ai reconnu à cette fonction, la propriété suivante : la somme de ses trois différences partielles du second ordre,