LIVRE XIII. i

3. Introduisons présentement les inégalités du mouvement et de la distance des astres, dans [l'expression de la hauteur des marées. Pour cela , développons le terme de la fonction (£) du n° a , rapportée à la Lune.

— sin* 6 . cos 4 \ i' . cos (an* + a<w — a<p').

Soit y.sin(j/-f-fl') une des inégalités du mouvement lunaire, et A. cos (sH-8') l'inégalité correspondante du rayon vecteur r* de la Lune ; ces deux inégalités introduisent dans le terme précédent, les tonne»

^ .sin-0.cos«V. '*)• cos(a*/ + a*r-- W/-5<-G') ~|

4/' * | — (i h-\-f) . cos^/ir-f-a^r-- zm't+sl+v) J

? étant la moyenne distance de la Lune à la Terre. Ces termes donnent naissance à deux flux partiels que l'on peut considérer comme produits par l'action de deux astres mus uniformément dans le plan de l'équateur, à la distance i J , et dont les masses sont respectivement

L'.cos*i É .(/-|A), L'.cosH«'.(iA+/);

leurs moyens mouvemeus étant (m'-f-0./, et (tri — ^ . t. On a vu précédemment que le terme 3 L'

^ . cos 4 y «' . sin* 9 . cos (an* + a«r — awi' t)

produit dans l'expression de la hauteur de la mer, le terme BL'

( 1 -f- rrix) . =-r . cos 4 \ «' . cos {int + im — nm't -f- -xrriy — 2 >).

11 est facile d'en conclure que les termes dus à l'action des astres sup-* posés, produisent dans cette expression , les termes

[1 • ™ • cos 4 **'. (/— f A) X

cos £an* -f- a«- — am'< — j< — — a> -|- a(w'-f i)j J

- [1 + {tri - . ^.cos 4 ^ < . (/+ 1 A) x

cos [an<+ aw — am / /- T -j<-M' — a> +a(ro'— 7],

i : 6 MÉCANIQUE CÉLESTE ,

Nous avoua supposé, au moment de la haute mer,

ni — m't -}-<?r — y + m'j= Ïtt 4- /' ;

i ' étant un nombre entier.

Les deux termes précède» deviennent ainsi

+ (^4.i) . cos'i C/-| A)oo»(a/' — st — ô'-f-f^)

-[i '-)* ] ^ . cos< i «' . C/+1 *) cos K-f 41 + y - y).

On a par ce qui précède

ce qui réduit les deux termes précédens à eeux-ci ,

[i + (»''+ £ * ] • co>< 5 «' . </- 1 A) ces (*T+ 0' + st" - a/') , -[i H- (m'- î)* cos* i (/+ ! A) cos (*T+ * +

Ces deux termes développés en séries, ajouteront donc à l'expression (B) de la hauteur des marées, la quantité

-«■(»- 7£bW* T + «') + "' J < 3 '— 7^) si °( jT + 9 ')

La différentielle de cette quantité, prise par rapport au temps t, et divisée par dt , doit être ajoutée au second membre de l'équation. (C) du numéro précédent, pour avoir l'instant de b haute mer. On peut dans la différenciation, ne faire varier que V, et supposer dfsandt, à cause