DES ARCS DE CERCLE
1* Soit G le centre de gravité de l'arc A6, situé sur la bissectrice de langle AOB.
Soient G\ G' les centres de gravité des deux moitiés lÂ, IB, àb Tare AB. Ces deux nouveaux points seront situés sur les bissectrices Or, 01' des deux moitiés de l'angle, et la dboite G'C passera au point 6 et y sera divisée en deux parties égales. La symétrie exige d'ailleurs que l'aDgie OGG' soit droit. Donc, étant donné k cratre de gravité G d'un arc AB, on «Uendra le centre de gravité de sa moitié AI CD élevant en G sur OG une perpendicriaire qui coupera au point cherché la biswlrice de l'angle GOA.
Le point G' appartient à la courbe lieu des centres de pinlë des arcs issus du point A. Par conséquent, si r crth distance OG, et / la distance OG', correspondante
i un arc moitié moindre, 0 étant l'angle GOA, on aura à la
bis
Fig. iC5.
■^ il
sinO
r' = fl
Ak triangle OGG' donnera
COSj
k ces trois équations on déduit la formule connue
î* On passe du rayon r au rayon r'en divisant le premier
F^cosx ; de môme on passera du rayon r* au rayon i^', cor-
'^ndant à un angle ^, en divisant par. coé t, et on peut
Pwisser aussi loin qu'on voudra cette déduclion. A la limite, *^paniendra au rayon qui correspond au centre de gravité
284 GOURDE DES CESmiBS DB GRinTÈ
d'un arc infiniment pclit, c'est-à-dire au rayon a do cercle donne. On a donc l'équation
a= lim
^cos5C08jcas^...catjjj
sinO
ou, en remplaçant r par sa valeur a
sin9 $
/ 0 9 B =:Um(eos|C08|COS«... cos
pour n infini.
De là on déduit une manière de trouver le rapport i^\kè^
conférence au diamètre. La courbe coupe la droite OK en i0
point E, centre de gravité de la ieâr circonférence, situé à une distance (K te
centre égale à — . Ëlevant en E sur OEh
perpendiculaire EF, jusqu*à la rencoobe du rayon OF qui divise Tangle dnit en deux parties égales, on aura le caixt de gravité, F, du quart de la circonférence, puis, en répèliit la même construction, le centre de gravité, 6, du huitièmedB la circonférence, le centre, H, du seizième, etc. Donc
Fig. 166.
lira — X
^^ it « n
4 8 Ib
et par suite
^ « « V COSjCOSjCOSjj
Cliacun des facteurs du dénominateur peut être calcolé apriori. On a en effet cos j=— , et, pour trouver les autres
cosinus, on appliquera la formule générale
a COS 2
COSflC
DES AltCS DE CERCLE. 285
Uiérie derienl 1res convergenle dés qu'on alleint des ores suSïimmeDt petits par les bisscclions successives. Si l'un
hillc calcul, par exemple, jusqu'au facteur cos ^,, corres-
jcndinl 3 UQ angle au centre de 10' 32",8, on trouvera très npidemenl, en s'aidant des logarithmes, la valeur suivante, iil I» sii décimales sont exactes : :t=:3,141502.
î'Pirlageons l'arc A6, correspondant à un angle au centre ll^tiin parties égales aux points 1, 2,... n — 1 ; prenons les tnlro de gravité de chacune de ces ji"^" parties, et cliurènsle centre de gravité de rensemble, ou de l'arc total ILIIsulGra pour cela, puisque toutes b ptrties sont égales, de prendre la ■maae arilUmétique des coordonnées in cealres de gravité de chacune.
Sotenl. d'une manière générale, T|, i/,, btwnlonnces du centre de gravité de fw compris entre les points k — 1 et t el X, Y les coordonnées du contre de fjj ,6,.
pmtc général, ces coordonnées étant op(iorliies aux axes rectangulaires OA, OV ; il viendra, en ap< ^UïDt les Ibrmules :
,în-l)e. î/« = o
(coE8H-cos3!H-cos59 + ... + cû*[2n-llS).
(sin9 + sin3«+siiiM + ...+sin(Sri-ljS).
9g6 GOURDE DES CENTRES DE GRAVITÉ
Mais on a d^un autre côté, toujours en verto des mêmes formules,
« a sin fi9
X= r — COSIlO,
. usinfiO .
1= -— »nfi9.
Comparant ces deui groupes, on en déduit les relations soivantes :
sinwgcosngHnîii^
Ir::
cos9-hcos3d + cos50 + .«. + cos (Su » i] 6 = 8iD0 + 8inS9 + rin50+--« +im(îfi — 1)9 =
sin 9 8m*ft9 an 9
Soit
it par exemple e = Q . . On aura
Sftff
co89 + cos59 + ...4-coe(îii — i)9 = zLXI-
2tin
2fi + i
187 . La courbe coupe le rayon OK, perpendiculaire à Oi,ei une infinité de points E, E', E%... sans compter le pointOqa est un point multiple d^un ordre infini, puisque toutes ks boucles successiTcs du lieu y passent. Le point E est le centre de gravité de la demi-circonférence, le point E' le centre
de gravité de trois demi-circonférences, le point E" de cinq demi-circonférences, elc. On obtient ces points en faisant successive- M ^\ ment
fi-5» fi-Y» o=Y' ®=r
dans la formule
siii9
n?. m. ce qui donne
on
f'rr: —
Les valeurs négatives correspondent aux valeurs de ôpour lesquelles le rayon prend la direction OK'; elles doivent par
