DES ARCS DE CERCLE. 2S

portées comme les autres sur la figure dans le »é, la limite de la somme algébrique

i la moitié du rayon OÂ.

t, remplaçant r, r', r",... par leurs valeurs, il vient

! somme

î entre parenthèses est le développement connu la série de Leibniz; donc la somme est égale à

nnaissant le centre de gravité d'un arc de cercle, rien s facile que d*en trouver la longueur. On a, en ippelant s la longueur de Tare, et 0 le demi-angle

$ = 2a0 J sin9

r$ = ax2as\n9.

vera la longueur de Tare en prenant une quatrième

melle à la distance r du centre

au centre, au rayon et à la corde.

i, par exemple le centre de gra-

la demi-circonférence ABA', on

î développement de Parc AB en

!A', et en élevant A'S perpendi-

EA', jusqu'à la rencontre avec

;é. On a en effet

OSxOE = ÂV,

FIg. 160.

288 COURBE DES CENTRES DE GRiTHS

OU bien

Donc

osx — = «*.

OS = y = trcAB.

1 89. Constmction de la courbe par points. — La courbe lieu des centres de gravité des arcs issus du point A n a qu'un seul paramètre, le rayon OA=a du cercle. Toutes les cow^ bes qu'on peut obtenir en traitant successivement diflëreots cercles sont donc semblables entre elles, et on peut construire une fois pour toutes une courbe de cette nature, dont oa pourra déduire toutes les autres au moyen d*un simple changement d'échelle.

Cette considération permet d'éliminer Tare 0, et de ramener la construction par points de la courbe type à des opéntions algébriques qu'on puisse exécuter avec la règle elk compas.

Ne fixons pas d'avance le rayon a ; soit OX le rayon à partir ; duquel on compte les arcs sur un cercle indéterminé; doDnons-nous un point M de la courbe, sur un rayon OM qui fasse

avec la droite OX un petit angle 0 dont oo connaisse d'avance le sinus. Menons par le point 0 des droites Oa, Ofr, Oc,... qui fassent avec l'axe OX les angles 26, 50, 40,...

^*^- *"^' Nous pourrons facilement trouver te

points de la courbe situés sur ces nouveaux rayons. Ne nous occupons, pour plus de simplicité, que des rayons OJ, Orf,.* qui font avec OX les angles 30, 50,... égaux aux mullipte impairs de 0. Appelons r la distance OM, r, la dislance Oï^ r, la distance OM^,..., r, la dislance correspondante à l'afl* glû nO ; nous aurons à la fois

siii«9

UES AltCS DE CEHaE.

lus pour n entier impair on a l'ëcjtialion d'Eii'er :

bnule qui contient on nombre limité de termes, el dans Nielle on suppose que 0 est le plus petit arc positif répouk!au sinus donné.

flpmsion qu'on pourra construire.

Ou trouvera ainsi, par des opérations algébriques, autant è points qu'on voudra de la courbe; ces points seront nw rapprochés pour permettre de la tracer, si l'on est parti fane valeur de Q sut^samment petite.

Pour trouver ensuite le rayon o, or appliquera la remarptS'du g 186, et on aura, avtc une approximation aussi innik qu'on le voudra,

190. Bivision d'un angle e» p-hi parties éijdes. — Suppo- «B qu'on ail tracé la courbe lieu des centres de gravité des Rs l«us d'un point A. Soit AM cette g

Ë'roposons-nous de prendre sur â partir du point A, un arc AC (p4 j)« partie de AB. L'arc !gaU ABx^;^. et les deux

ira AC et BC seront entre eux comme "'

lest à p. "'■'■"■

Joignons OC, cl menons la bissectrice 01 de l'angle COA.