PES ARCS DE CERCLE
porl i!e simUiluile. Cela revient à décrire un cercle OA' avec un rayon égal à — , et à construire le lieu A''E"0, des centres de gntvilè des arcs de ce nouveau cercle, issus du point A" cl comptés dans le sens A"B". Le point j' sera l'interaeclion des courbes A'K'O, 0I'7A.
La direction Oi; étant oinsi déterminée, il n'y aura plus qu'à doubler l'arc Al pour avoir en AM l'urc cherclié. égal à la (p + 1 )■* partie de la circonTérence entière. Car le point g est le centre de gravité de AM ; le point 1/ est le centre de gravité de l'arc AB'A'M, qui complète la circonférence. Le centre de gravité de la circonférence est au point 0, On a donc
et par conséquent
CEyniE DE r.HAVETË DU SI^CTEVn.
19t. La recherche du centre de gravité du secteur circulaire homogène se ramène à celle du centre de gravité d'un arc de cenle.
Décomposons le secteur AOB en une infinité de secteurs infiniment petits, par des rayons Om, On; res secteurs peuvent élre assimilés à des triangles, car l'arc mn est un élément rectiligne, et leurs suifaces sont proportionnelles aux arcs mn qui leur servent de base. Le centre de gravité du triangle Omn est situé en g, sur la bissectrice de l'angle au centre, et aux
f du rayon à partir du point 0. Tous
les centres de gravité des éléments
appartiennent donc à un arc de cercle, A'B', décrit du point 0
Fig. nj.
.92 CEMRE DB GRAYITÈ
comme centre, avec les ;? du rayon du secteur donné pour
rayon, et le poids de chacun de ces secteurs est proportionnel à Tare mn qui lui sert de base, ou à lare m'fi', qui en
est les ^. En résumé* le centre de gravité cherché s'obtiendra en composant des poids appliqués aux différents élémenls de Tare A'B', proportionnels aux longueurs mV de ces éléments; cest donc le centre de gravité de l'arc A'B' luimême.
Le centre de gravité G du secteur circulaire homogène est situé sur la bissectrice OC, à une distance OG du centre donnée par la formule :
arcAo' arcAB 3 arcAB
CENTRE DE GRAVITÉ d'uN ARC D*HÉUCE HOMOGÈNE.
192. Soit ABC (fig. 174) une hélice tracée à la surface d'uo cylindre droit à base circulaire, projeté horizontalement sui- >ant le cercle EF.
L'axe du cylindre (YCy se projette horizontalement au centre 0 du cercle.
Proposons-nous de chercher le centre de gravité d'un arc d'hélice projeté horizontalement en MN et verlicalemenl en M'N'. Nous ne iliininuons en rien la généralité des riiisonnemenfs (Ml supposant les poinis M et N symétriques par rapport à la porponilioulaire abaissée du point 0 sur la ligne de terre LT.
Le rontie de gravité de l'arc d'hélice a pour projection sur b» plan horizoïiliil le centre de gravité g de Tare de cercle M\ projection do Tare d'hélice (g 168, Rem. 2). Car tous les éli'menls de Théliee fuisanl le même angle avec le plan liolizontal, chaque arc ds pris sur l'hélice correspond sur le CCI de ù un arc proportionnel i ds, de sorte que régalilé de la
D'U» ARC U'IIÈLICE SB3
réporlirioti des poids le long de l'hiilice entraîne pour la projection une réjiartition é^ale le long de l'arc de cercle.
Pour a\oîr la hauteur du centre de gravité au-dessus du plan liorizonlal, on se servira de l'^qualion
Celte équation montre que le centre de gravité ne change pas de hauteur quand on déplace les points d'.ipp1ication des poids p sans altérer leurs hauteurs s. Imaginons donc qu'on développe sur un de ses plans tangents la surface cylindrique; l'arc Wy se transformera en une ligne droite, vt le centre de gravité de cette ligne homogène sera au milieu de sa longueur, c'est-à-dire à la hauteur moyenne entre ses deux extrémités.
Il en est de même, par consét^uent, de l'arc M'N': le centre de gravité rst donc dans un plan horiloolal RS, mené à égale dislance des plans horizontaux M'P, N'Q. 11 Fie- ''*.
est projeté veilicalement au point B, à l'intersection du plan RS avec la verticale menée par le point g, centre de gravilé de l'arc MN.
103. Cherchons (fig. 1 75) le lieu géométrique des centres de gravilé G des arcs d'hélice commençant au point A, et terminés à un point B mobile. Par le point 6, menons Qb, parallèle à l'ase de l'hélice, jusqu'à la rencontre en b avec le plan perpendiculaire AOY.
Soit
L'équation de l'hélice, sur le cylindre où elle est tracée, sera
CEKIRE DE GRAVITÉ
OU
Mac
en appelant h le pas. Celte équation représente la surface hélicoïdale obtenue en abaissant des divers points de
rhclice des perpendiculaires surOZ.
Le point g est déCni sur le plan
XOY par l'angle
Oj.. .-'■ \
Fip. 175.
et la distance
sinO
Le point G a pour hauteur
Les coordonnées rectangles, j!^ tf^ %' du point G sont donc exprimées en fonction de 0 par les équations :
ar s^ K : 1
sin*0
La courbe appartient à Thélicoïde à plan directeur déflni par
/la rèqualion 2=^-, sur lequel est tracée l'hélice, comme il
était facile de le prévoir.
La tangente au point G s'obtient enjoignant GD.
CE^TRE DE GRAVITÉ d'uNE SURFACE COURBE HOMOGÈNE. GEHTBE DE
GRAVITÉ DE LA ZOKE SPIIÉRIQUE.
19 f. Comme exemple de la recherche du centre de gravité d'une surface courbe, proposons-nous de trouver le centre de gravité d'une zone sphérique homogène. Soit 0 le centre delà
D'UNE ZO>E SniËltlQlE. SCS
ifitke i laquelle appartient celle zone, et OF=OP=OE son rajou. La loneÂBCD, dont on demande lecentre de gravité, e^-f cumprisc entre deux plans parallèles, profilés surla figure en AC, DC, et distants du centre 0 de quanlités OS, OR.
Par le centre 0 de la spiiére, menons un plan EF parallt.'lf lui beses do la zone ; ce plan coupe la surface sphérique suinnlun grand cercle; circonscrivons à la sphère un cylindre i^iii lui soit tangent tout le long de ce grand cercle. 1) suffira pour cela de mener au point V noe tangente FK au prolil FPK de la splière, et d'imaginer la iOrfsce cylindrique engendive - |»r la révolution de celte droite flisutour de l'axe OP. Les plans AB, CD, coupeiit cette surface qlindriquesuivantdcuxcircdnlèrances projetées en Mil et Id, (t on sait que la surface de la ^'*' ''"■
me sphérique ABCD est égale h la surface convexe du cjlinilre IIGLM, comprise entre les mêmes plans. Partageons la biutcur RS de la lone en un très grand nombre de parties *çales, et soit pp' lune de ces parties. Par les points de diîision menons des plans jiq, ji'q' parallèles aux bases; ces pUns couperont la lone donnée en zones élémentaires engcnirtes par les arcs qtj", et la surface cylindrique en tronçons ngendrés parles éléments correspondanlssj'. Or les hauteurs pp' de tous ces éléments étant les mêmes, toutes les zones qq\ i^alcs aux surfaces ss', sont équivalentes. Chaque zone qq' a pour centre de gravité un point situé sur Taxe RS, entre lesi poinlspel p' . à la limite, lorsque le nombre des parties ali- ^t»les(i(/ est infiniment grand, le centre de granité de la zone élrsK'Mtaire peut être confondu sans erreur avec le point p; iltn est de même de la zone cylindrique as' correspondante. On peut donc remplacer la zone sphérique CD par la zone cjliiidrique Gll, sans changer les surhces ni les poids des
âK 05111 DE GliTiri
zones élémentaires, et sans déphoer leurs centres de grafité respectifs. Le centre de graTÎté de la lone sphérique CB enncîde donc avec le centre de gravité de la surface cylindrique GH, c'esl-à-dire aiec le milieu 1 de la hauteur RS, et par suite, U centre de gnrité i^mt vme tpkérique komogène^ àweimà deux bûsis, esi nimé sur «m ûxf^ au milieu de sa hmUeur.
CE5TmC IC OUTTTÉ D*C3I FCSCAT D(F15DIE5T PETIT PAA% PARTAAT DO PdLE P DE LA SraÈEE, ET TERaCSÉ AU PETIT CSBCLE AB.
195. Le centre de graTÎté de la lone PAB est au point I, milieu de la flèche PF.
Le centre de graTité d'un fuseau infiniment petit PAA' est situé dans un plan CD, parallèle à la base de la zone, et mené
par le point L Car imaginons II calotte sphérique PAB décomposée en n fuseaui égaux entre eui. Les centres de gravité de chacuo de ces fuseaux égaux seront tous situés, à distances égales, sur la circonférence d^un cercle dont le plan seia perpendiculaire à PO, *'■ '""• et dont le centre sera situé sur
celte droite. Le centre de gravité de l'ensemble est le centrede ce cercle. Or il coïncide avec le point I. Donc le centrede gravité de chaque fuseau pris individuellement est situé dans le plan CD.
En vertu de la symétrie, le centre de gravité de PAA' est situé dans le plan bissecteur de Tangle dièdre APA'.
On connaît donc une droite sur laquelle le point cherché se tix)uve situé. Il suffit de déterminer sa distance Ç à Taxe POi en prenant les moments par rapport à un plan conduit par cet axe normalement au plan POA.
Décomposons la surface du fuseau en éléments infiniment petits mmVii, par des arcs de cercle décrits du point P
D'un FUSEAU INFINIMENT PETIT. 207
:oiiime pdie. L'aire élémentaire mnn'm' aura pour mesure le produit mm' x mit, et son moment sera mm' x mn x mp. On lun donc
I (iftw^ X «nw X ntp)
* Sfmm'Xmn] '
les sommes devant être étendues à toute la surface PAA^ Soit POm = ô, POA = a; angle APA'=d(p; enfin
