LI-lIN CONE I10)I0G£F<E. î
fe surface de U section mn sera fournie par ta proportio
Me est égale & -rrr • ^^ '^ ïolume de la Iranclie est
Son moment par rapport au plan PQ est
|t la distance ; du centre de gravité au même plan est par iDsâquenl
/ Ki-Vj „ii Jo "' Ji, '''^ 3 C Di'di /* x*dx
j ni" ''o
he centre de gravité du cùne est donc situé dans un plan
■sUèle à la base A6, mené à une distance du sommet
jtie ajix trois quarts de la distance du somme! à Li base.
D'un autre c6lé, le centre de gravité d'une tranche élcmcn-
ire mnm'ii', réduite â une épaisseur infmiment petite, est
kfiniment voisin du point ij, centre de gravité de la section
i]uî lui sert de base. Les centres de gravité des tranches
is lesquelles on a décomposé le cùne sont tous sur la droite
6. Le centre de gravité de l'ensemble est donc aussi sur cette
nite, et par suite, le point cherché est le point F, pris sur
h droite SG, aux trois quarts de la distance SG à partir du
«bus.
'&. Les mômes raisonnements s'appliquent à la pyra-
i. Donc : i° le cenire de (fravUé d'une pyramide qnekonque
vmoqine est aux j, à partir du sommet, de la droite qui joint
t $omtnet au centre de gravité de la base; i' les quatre droites Kti, dans un tétraèdre, joiijiienl les sommets aux centres de gra-
CE!fTnE DE GRAnTÈ
vite des faces opposées^ se coupent en un mime pomi, tjà eà le centre de gravité du tétraèdre^ et qui partage dtaqiu lifi de jonction en deux segments dont le rapport est égal on bre 3.
Il est facile de démontrer aussi que le centre degraàilÉ\ tétraèdre homogène coïncide avec le centre de gravité de poids égauij concentrés en ses sommets; comme corollaiiti ce théorème, on peut déduire les propositions suiTantei: centre de gravité d*un tétraèire homogène est au fRÎ/iotè dn ite qui joint les milieux de deux arites opposées^ et la droites qui joigt^ent les milieux de deux arites oppotto tétraèdre concourent en un mime point j qui les divise en deux parties égales.
De même, le centre de gravité d^un triangle homogène arec le centre de gravité de trois poids égaux concentra es sommets.
CCTTRE DE GRAVTTft DU TRQKC DE PYRAMIDE OU DE CÔKE.
199. i* Considérons d*abord un tronc de pyramide triai- { gulaire, compris entre deux plans parallèles ABC, DEF;le$|
arêtes DC, BE, AF, pi Vv^ gèes vont se couper en
même point S,somraclfc] la pyramide enlière.
Rappelons la mctbollj suivie dans la géomértl' pour obtenir la mesure il volume du tronc de ffj ramide. Par un des soimets E de la pelite IM on mène deux pbns, l'i* EAD, passant par la dii- ^onolo AD do la face latérale opposée, Tautre EAC, pw^ s;uit par le cdté de la grande base appartenant à la même
Fi^. \7\
DIS moïse DE PTRAMIDE. M)
Igux plans partagent le Ironc de pyramido en
midcs triangulaires ADEK, EADC, EADC; la pre-
lur base la pctile base du tronc; la seconde, la
■htsc; elles ont toutes deux pour hauteur la hauteur
■ du Ironc ; la troisième peut être transformée, sans al-
B de son volume, en une pyramide ayant pour base
't, A pour sommet le point K, intersection de l'aiéte
fmt une parallèle ËK menée à l'arôte AF; on peut la
T comme ayant pour sommet le point D, el pour liase
na|tc ACK, dont tu surface est moyenne proportionnelle
Rh grande base el h petite; cette troisième pyramide
■fac ramenée à avoir la hauteur du tronc.
[Iffelons donc II la hauteur du tionc, ou la distance des
' HlBC, DEF ; B la grande base, b la petile.
strois pyramides auront respectivem nt pour volumes,
b finaude ADEF, ^b\l,
bpiraniMe E\BC, -m,
b pjraniide tKW.. j>|iiivalejile i DACK, ^\l\fBh.
lUcmlrede la première pyramide est à une dislance du
||jttnémv, le centre de la seconde est à des distances des
s respeolivement égales 5 j fl et -^ H. Pour le cen-
itilé de la troisième, remarquons qu'en vertu d'un Inre indiqué tout à l'heure (g 199), il est situé au mi- |llf de la droite U, qui joint les milieux I et L des deux arêtes '
sED, AC dans le tétraèdre EADC; il est donc dans le Nbcdë à è^ale dislance des plans des deux bases, et sa dis-
Rlehacun des deux plans pst ^j II. i
me des moinenls des poids des trois pyramides par
^STTU DC (SITITÉ
rr ni iian EFD ^si ,ï£ale aa produil du poids le ^« "" a us-ani» X ie soa «nire de gmilé à a
■H vanant 7. ^yur lôrfi-r. î^ volume du tronc, q ^ I 7 — 3 — ^ 3* - Le *oo:< ^ijnt supposé homc^fène,
.'««S- w a iîre. Tffnpioi.-^r ijns réijualion des momenl is 7.>iame? rù ûfur s?at proportionnels. Appi A ûaoTî m r^LPï ie znTitê au plan de la base i
junas^ K nifoie
— 1* J — "tf — i* j./ .
.•:. *ri-- "u ;* : cy: .'t I^ rapf^>rt dos distances
.,. -*. .^ .— •'." HZ, :i*i :^ l'rs l.i"?r<. et permet par suite
- ^.n. .ticoif-u J :^iii-:. u:: : lan qui conlieott
.■,..-.•> . s* "~.i«r -^n j . ::.er^:\:tion de ce planl
- - :•;: li.Ti c'- : 'Ji-*:-? :c ^n.ke G, G' desdeuxhl
: .. i:z e '-rni-L' ? jj .L»;:-: j un tronc de pyi
^ , î. 'Jn • ii e r';.::c :V? rvrucideobfenai .^" ^ ,1- :.i.:s •-' :ija defr
, î. ■ rnvu> J -^ '^
DTS TmtC DE rïRAMIllE. 303
lit prolongé détermine une section miip; le tronc triangukt MNT/tmii est étiuivalent au volume donné, et les seclîons les dans ces deux solides par des pians paralliiles aux ta sont éiiui val entes. Si l'on décompose les deux troncs Inoches inlinimonl minc.<'s, les volumes de ces Iranclies, énrs distances aux poinis S et S', seront respeclivemenl les ; les sommes des moments par rapport aux poinis S
? seront aussi égales, et par suite, les centres de gravité des jiz troDcs sont situés dans un même plan parallèle aux bases, ironnulc démontrée pour le tronc de pyramide triangulaire n^ri, s'applique donc sans modilîcalion au tronc de pvrae équivalent ABCDEeabcd.
B remarquera que dans cette formule on peut remplacer irlaces, B et b, des deux bases, par les carrés de deux I homologues. Les sections ABCDE, obcde étant sem- I, on a en effet
iliii ;i un tronc de cône ; car le î tend une pyramide inscrile à J»re dr'—.iAH de sa base.
t ir' nséqucnces. Si l'on
H» u tronc au sommet
ii ^ ;e au même point
SOI CENTRE DE GlUirRÈ
d'une tranche quelconque faite dans le tronc par un plan pa rallèle aux bases, et Ç la distance du plan qui contient 1 centre de gravité cherché, Téquation des moments donnera
x*dx
La hauteur du tronc est la différence h — V.
Les distances du centre de gravité aux plans des bases Mif respectivement égales à Ç — k' et fc — Ç. Enfin
b hr^ Donc
3^ 4- i^^4 — Wk' "" A* 4- 3A'« — 4ik«A'
Cette fraction peut se simplifier par la suppression à ses dan termes du facteur commun (h — k')" ; il vient en faisant te divisions
^^A/ 5^«4-2AA>-hA^ A — {'"A«-f-2AA'+3A'«
et remplaçant dans les deux termes ainsi simplifiés, quisoal lioinogènes par rapport à k et h\ les quantités k et k' parte quantités proporlionnelles y^ et yk» on retrouvera la formule déjà obtenue
DDll SSGnilT SPHÉRIQUB.
CDTRE DB GRAVITÉ d'uN SECHENT DE SPHÈRE A UNE BASE.
VA. Soit PBA le segment de sphère donné, BA le plan de a base, P le pAle du petit cercle AB. Le centre de gravité dierché est situé sur la droite OP, à une distance Ç que nous terminerons par le théorème des moments.
Prenons les moments par rapport au plan HN conduit par k point 0| perpendiculairement à OP.
Soit
Om=zx, nm = dx;
h tranche infiniment petite pqp'q' a four mesure
X X «V* X mu = :ty*dXf
en appelant y Tordonnée mp du cercle PA.
L'équation du cercle est x* + y* = R% R étant le rayon OA. Donc
Le volume de la tranche est ic (R* — x*)dx. L'abscisse Ç du centre de gravité est égale à
