J« = OC
yp»
^Sa
Fig. 181
Faisons OC=a; c'est la distance du centre de la sphère au fbn AB qui limite le segment :
/>-)-=[--tÏ=(«-?)-(«-Ï)
= ? X («R» - 3R«fl -f a-) ; jJlR» -*«)««x = [r«^ - Ç j^ = ^ X [i2H* - R*) - 12RV - û*)l
SO
Zn% CESTRE DE GEATITÉ
et par suite
^ — î Jfti 5R«*-f «••
Lfô deux termes de la fncUon s'annulent par a=R puisque cette supposition fait évanouir à la fois les deui intégrales; ils admettent donc le facteur commun R — a. Supprimant ce facteur, on trouve une nouvelle fraction dont les doui termes s'annulent encore pour R=a, et qu'on peut simplifier de nouveau parla suppression du facteur R — a; e: Ton obtient en définitive
*"i^ îSTï 4^ 2B + a*
Si Ton fait 0 = 0, on obtient le centre de gravité delà moitié de la sphère :
CK>TKS M ClAVITÉ D*Cr WEOÊESt DB PABlBOLOÎDE DE RÉTOLUTIOX.
'2i»'2. Le p.v{:holo\de d€ révdution s'obtient en faisant louriH^r autour lîo son aie SA la parabole SMB. On coupe la surface jvir un plan l.AE normal à Taxe, et on demande le centre
de gravité du volume homogène 1 ^ compris entre ce plan et la surface CNSMB.
7 Le centre de gravité de ce vo- ~t lume étant situé sur Taxe SA, il
sufGt de déterminer sa distance
au pomt S.
Menons doux plans infiniment voisins NPM, npm^ qui interceptent dans ce volume un élément cylindrique dont la hauteur est Tj», et dont b base est un cercle avant pour rayon PM. Lo \olumo de le cylindre est donc ::xTM*xPp; nous pouvons, à cause de rhomogénéité, prends ce volume
D'UN PARABOLOlDE DE RÊYOLUnoN. S07
pour la mesure du poids ; le moment, par rapport au point S, sera
«xPiPxPpxSP, ou bien, en faisant SP =x, PM = y, Pp = dx,
Posons SA = a. La distance Ç du centre de gravité au point S s'obtiendra au moyen de Téquation
/ ny*xdx l y*xdx / ity*dx I y*dx
Or l'équation de la parabole est i/*=2px, en appelant p le paramètre de la courbe.
Renriplaçons y* par sa valeur; il viendra, en supprimant le facteur commun 2p,
Le volume du segment est d'ailleurs égal à
jia^=: y 5ii|wr<fa = irXp«»=5«Xicï5'»
OU à la moitié du cylindre qui aurait pour base le cercle CB, et pour hauteur SA.
Ces résultats s'étendent sans difGcuIté au paraboloide dans lequel les sections circulaires CB seraient remplacées par des dlipses.
CEHTRB DE GRiflR
CE5T1E DE «ATITÉ K UL CTGLOiDB.
