ti cydoide ABC est le lieu décrit par le point ï

j, d'une circonférence EHD qui roule sans glisser sur h droite AC. Elle est définie par l'équation

ire HD =r AD.

Du point M abaissons une perpendiculaire MP sur la droite AC, et faisons AP=x, liP=|f ; joignons le point M au centre 0 du cercle générateur, et soit 1IOD=0.

Appelons R le rayon du cercle. Il Tiendra

in:HD=:ADr=B«;

PD est la projection sur AC du rayon MO, qui fait avec AC un angle égal à 5 — 6.

Donc

X = AD — PD = R9 — RcosJ ^ — •] = R(6 — sin6%

La longueur MP est égale à la projection sur DE de la corde MD, laquelle a pour longueur 2R sin X , et fait avec DE un

angle MDE égal à ** ^^ ; donc

y = 2Rsin|xcos^^- 1 ) = 2R sm«|= R(l - cose).

Proposons-nous de trouver le centre de gravité d'un segment ARS compris entre le point A et une ordonnée RS, définie par son abscisse AR = a.

DB U CTaOlDE. 50V

L'abscisse ^ du point cherché sera égale à

Quant à son ordonnée t], observons que le centre de gravité de l'aire élémentaire ydx est au milieu de l'ordonnée y, et que son moment par rapport à AC est égal à | y*dx« On aura donc

Or les équations de la courbe donnent

y({s = Rt(l-.oO8e)M0,

xydx = RS(1 — coaB)*{e — sinOjdO, yVjr = R»(i— cose)»rfO.

Appelons ^ la valeur de 0 qui correspond à x=a; il viendra

y (l — co« »)•(» — «i

cose)*</6

/ (l-.cos«)*d3 ,— ^R •

j (i — cos«)«i/e

Ces diverses intégrales sont faciles à obtenir. Développons les carrés et les produits indiqués :

(1 — CO80)* = 1 — SCOSO 4- CO8*0,

(i — om6)> s= i — 3cotO 4- Scos^e — cos^O,

(i — 0086)*(e— 8iii6) =0— )0cos0-t-0cos*0»8m04-Scose8in9

5i0 CE!9TRE DE GRlYlTfe

Les intégrales de certains termes s'obtiennent imroëdialcment:

fde = e.

/sinOr/6 = ~cos69 /2 C0S9 siii d<fO s sin* 0,

foo&'^9sïned9 = — scos'ô.

Il reste à trouver /cos*OdO, /cos*OdO, /OcosOdO, /OcosPJ*. Nous avons déjà obtenu (§ 181^^) l'intégrale

Le même calcul donnerait

Pour avoir /cos*OdO, observons que Donc

fcos*Bd9 = /cosOdd — /sin*dcosWfl = sinfl — =sin''0. '' ' ' o

Los inlégralcs /OcosOrfO et /ôcos'OdO s'obliennenl en appliquant le procédé de Vintégration par parties :

fcosBdS X 6 = Bs'inB — fsinBdQ = 0sin9 + co%6, JcoÈ^edQ X e = e X (^04- Jsinîe) — C(\B-^-^sini$)dd

= ^ 4- j8iii26 - Jô» 4- gcossi

= ^-f |sin20-f ^cof20.

Il ne reste plus qu'à réunir ces différents termes, après les

DE Lk CYCLOlOE. SU

ivoir multipliés par les coefficients convenables ; il vient, en iodiquant seulement les limites,

^6*— î«sine— 2cos04-r-4-T8mîO + |co820+cos« + sin«ô-f ^co8*ô -• il

Fa — isinO 4- ^9 + j»n S^l h — 3sin04- |ô H- jsin2«— sinO 4-3 sinSdl

[9— SainO H- 1^ 4- ^sinSdl

Appliquons cette formule à Taire de la eycloîde entière ABC. Il faudra faire pour cela V = 2ic.

Faisant dans les intégrales générales 0=0, puis 6= Sx, et retnmcbanl, il vient

[tn -h n)

ce qui indique que le centre de gravité est situé sur Taxe de symétrie IB ; et

^leur qui définit le point G, aux \ de IK, ou aux ^ de IB.

L'aire de la cycloîde étant égale à 5tcR', et l'aire du rectangle ACLF, à 4icR*, la somme des aires FAB, LBC, est égale à Taire do cercle générateur ttR*. Le centre de gravité de Taire FABCLF est en un point g tel que

CXx3uU«=^KXirR«, OQ

yK = 3xKG=|R.

Le point g est donc le milieu du rayon BK. On obtiendrait par des opérations analogues le centre de gravité d'un arc de cycloîde AS, d'un segment du solide de

31S CE!miE DB GRAYnÉ DUN ARC

révolution engendré par la cycloîde tournant autour de la droite AC, ou de la droite IB, ou de la droite BF, ou de b droite AF, etc.

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