BC
ff-Z'-ilAD
tons donc eo résumé îrHxîr + ^BHx^lR
la formule
ilume T, égal à 2nx x surf. ABCD, est donc donné par
)x|(R + rlH = ÎHx«(R'+r*+Rr).
formule des éléments de géométrie.
3S2 THËOnËMB
209. Le volume d'un iorcy engendré par la révolution do cercle 0 autour d'une droite AB Iracée dans son plan en d^ hors du cercle , est le produit de Taire du cercle 0 par la circonférence dont le rayon est égal à la distance OH ; c'est
le produit
wR* X inH, ou 2a«R«H,
R étant le rayon du cercle 0, et H la distance OH.
La surface engendrée par la circon- ,| férence a pour mesure
Fig. i«9. ÎtR X îaH = 4it«RII
On trouverait de même le volume engendré par une ellipse tournant autour d'une droite tracée dans son plan.
APPLICATIOII DU THÉORÈME DE OCLDIN Â UL RECHERCHE DES CESIIES DE GRAVITA DES AIRES ET DES UGKES PIJllfES.
210. Soit proposé de chercher le centre de gravité d'un arc de cercle homogène AB.
I/arc AB est symétrique par rapport à la droite OC menée du rentre 0 au milieu de l'arc. Le centre de gravité G est
situé sur cette droite, à une certaine distant X du point 0.
Par le centre 0 menons une droite OP, perpendiculaire à OC; puis faisons tourner la *' ' ~ * iT* « f ij^'ure autour de OP ; l'arc AB engendrera dans
ce mouvement une zone sphôrique dont h
^1 " > hauteur PQ est égale à la corde AB de Parc
1 donné. Cette zone a pour mesure le produil
do sa hauteur, ou de la corde AB, par larirconféronce d'un grand cercle de la sphère, cest-à-dire par "It.xOC. Le théorème de Guldin nous montre d'un autre côté que la surface engendrée par une révolution entière de l'arc AB est égale au produit de la longueur de Parc par la
circon rérence décrite par son centre de gravité, ou a arcABxSsJ;. On a Honc
corde AB X SitOC =
formule identique à celle que nous avons trouvée (g 1 83) en appliquant d'autres mélhodes.
i;\TBN*SION DU TnÉOnÈHE DE CULDIN.
211. Supposons qu'on trace un contour F dans un plan P. (|ui roule sans glisser sur une surface développable, et qui tourne successivement d'un angle infinimcnl petit autour des aréles reclilignes AB, A'B', A"B", ..., de celte surface.
Dans ce mouvement, la figure F engendrera un volume, et le pèrimùtre de celte figure engendrera une surface.
Cela posé, le volume enfjetidré par la surface F entre deux pogilions quelconques du j>latt mobile est égal au produit de faire F par le chemin décrit par son centre de gravité G ;
La surface engendrée par le périmètre de la surface F a pour mesure le produit du périmètre L par le chemin décrit par sou centre de yravité G' .
Pour démontrer ces tliéorèmes, il suffit d'observer que pendant un temps infiniment court le plan P tourne autour d'un axe fixe AB, et que
la figure F engendre un i
ment de solide de révolution.
Le théorème de Guldin peut
s'appliquer h ce temps très
court; il ne resie plus qu'à
fair« la somme de lous les
éléments décrits, ce qui don- "*' '""■
nera l'aire F, ou le périmètre L, multiplié par le chemin total
4ècril par le cenlre de gravité de l'aire ou par celui du përî-
324 TnÉORÈME
j 212. L'axe de rotation, dans tout ce qui précède, est supposé extérieur à la Ggure mobile. Le théorème de Guldin s'appliqae encore au cas où Taxe traverse la figure mèridiemne, saii^ à prendre positivement les volumes et les superficies engendrées ^par les parties situées d'un c6té de Taxe, et négativement les volumes et les superficies engendrées par les parties situées du côté opposé.
Si l'on adopte cette convention, on pourra dire que le volume engendré par une aire fermée^ tournant autour dune droite tracée dans son plan et passant par son centre de gravité, est égal à zéro. Car le chemin décrit par le centre de gravité est nul. Il ne faut pas oublier que dans cet énoncé on prend avec des signes contraires les volumes élémentaires engendrés par les deux parties de la figure séparées par l'axe de n^ tatiou.
TRÀHSFORMATiœV d'uKE 8CRFACB HÉMCOÎDALE BU SURFACB
