DE RÉVOLUTION

21 3. Lemme.— Soit AB((ig. 192) un élément mobile infiniment petit dont tous les points dccrivent à chaque instant des trajectoires normales à la direction correspondante de Télément.

L'aire engendrée par l'élément entre deux positions quelconques AB, A'B' sera égale au produit de AB par le chemin I V décrit par le centre de gravité, I, de Télément, et comme les longueurs AA', 66', ce, diffèrent de quantités infiniment petites, on ^»A/ / pourra exprimer cette aire AA'B'B par le produit

^Y-7^i ABxAA'.

Fig. lui. En effet, considérons les positions successives AB, AjBj, A,B„... de Télément mobile, et évaluons Taire AAj6iB comprise entre deux positions consécutives.

Par AB (fig. 195), faisons passer un plan P, normal à la trajectoire du point 1; par A^B^, faisons passer un planPi»

DE GULDIN. 5SS

, normal h la m(*nie trajecloirc au poinl I,. Ces deux plans se coupcronl suivant la droite LL', axe de courbure de la courbe II,. rroloMgcons AB dans le plan 1', jusqu'à la rencontre de LL' cnC; puis imprimons au plan P, autour de LL', un mouvement de rolalion infiniment petit, qui amène le point 1 au point I,. et l'ëk^mcnl AB dans la position a^. l);ïns ce mouvement, Télément AB engendre une portion inrinim(<nl petite de surface conique dont le sommet est au point C, et celle portion a pour mesure le produit Afixlli- Pour amener ensuite l'élément mobile dans sa position A,Bj, il n'y a plus qu'à fiiire tourner dans le plan P, l'élément a} d'un angle inûniment petit autour de son milieu I,. On déforme ainsi Télé* ment de cAne Aa^B, qui devient un

clément de surface gauche, AA,B,B. "''

Dans Celle dèformalion, cliaque élément de la surface conique reçoit un déplacement normal intiniment pelit.

A chaque élément de la surface gauche correspond donc sur le cône un élément superficiel qui en est la projection orthogonale, et comme l'angle de ces deux éléments est inlinimenl petit, il y a égalité entre les deux éléments, et par suite entre les deux surlaces (I, §62), La déformation n'cntrainc ainsi ni altération des aires, ni altération des éléments de longueur, et l'on a

surf. AA,B,B = ABxlI,,

comme si le déplacement de l'élément générateur avait consisté dans une simple rotation autour de LL'.

U en est de même de chaque élément, et par suite aussi de leur somme, ce qui donne pour résultat définitif AB x 11', ou ABx AA', en remplaçant 1 1' par la longueur AA', qui en diffère infiniment peu (fig. 192).

2t4. Ce lemme trouve son application dans la théorie de surfaces hélicoïdales.