L1)ME
Prenons pour exemple Thélicoîde à plan directeur. La ligne PF, trajectoire orthogonale des hélices est alors la gënèntrice recliligne de la surface, et réqualion « =F (R) prend h forme simple « =: R, en comptant les arcs i partir de Taxe Otf .
L'équation de la méridienne correspondante sera
Nous verrons plus loin que celte équation appartient à one chaînette qui aurait pour axe horizontal la droite wa\ et pour
ordonnée au point le plus \oisin de Taxe la quantité ^. Li
surface engendrée par la révolution de la chaînette autour de son axe horizontal a reçu d'Edmond Bour le nom d'alytêSie. CVst au même géomètre qu^on doit le théorème général, que toute surface hélicoïdale est applicable sur une surface de révolution. La proposition particulière relative à l'béliccdde à plan directeur avait été démontrée précédemment.
VOLUME Da CTLIKOnE TII0?(QUÊ,
215. Si Ion projette orthogonalemeiU une figure planeVstff un plan fixe P, le centre de gravité de la projection F' est la projection orthogonale du centre de gravité de la figure.
Cette proposition peut être considérée comme un cas particulier de la remarque II du g 168. On pourrait d'ailleurs rétablir directement.
La même proposition subsiste pour les projections obliques, faites par des droites parallèles. 11 suflit, pour Pétablir, de couper les droites projelantes par un plan perpendiculaire à leur direction commune, et d'appliquer le théorème aux trois sections ainsi obtenues.
216. Soit MN (fig. 196) une surface cylindrique ou prismatique, coupée par un plan ABCD. Soit G le centre de gravilé de cette section. Par ce point, menons une droite AB dans le plan
DU CYLINDSIE TRONQUE. 330
section, el conduisons par celte droite un second plan fcEBF, faisant un angle inrmimenl petit avec le premier. De celle manii^rc, nou^ ajoulons d'un cAlé au volume du prisme ou du cylindre un onglet infiniment petit AFDB, cl Imus retranchons de l'autre l'onglet inriniment pelitACEG. Faisons tourner la lî;;nre ArLU autour dt> AB pour l'am';- ■er dans le plan AEBt'. Dans ce mouvement elle engcnirera deus onglets de révolution opposés par le sommet, qui liflii^reronl des onglets cylindriques AFDB cl kCEB, d'infiniment petits du second ordre; ces deux onglets de révolution sont égaux Terlu du théorème de Giildin ; car l'un bant pris positivement, l'autre négativement, leur somme algébrique est nulle (g 215). H en est donc de même des onglets cylindridues, et par suite le volume du cvlindre ou 1 ■ -, ;■ 1 Fis- im-
du prisme, compris entre une section quelconque MN et la section ACDD, n'est p:is altéré par la suhstitulion au plan ACDD, dun plan inriniment voisin AEBF, pourvu que le second plan passe par le centre de gravité G de la section détci minée par le premier.
Le centre de gravité de la nouvelle section coïncide avec le centre de gravité G de l'ancienne, car la seconde section csl la projeclion delà première, parallèlcmcnl aux arêles du cylindre (g âfC). On n'altère donc pas le volume du cjlîn- (Irc en faisant encore tourner le plan de ta section EF d'un angle infiniment petit autour d'une droite passant par le point G. En définitive, qu'on modilic comme on \oudra l'orientalion du plan de la section ACBD, pourvu que ce plan passe toujours par le centre de gravité G de la section, le volume da cylindre n'en est pas changé.
217, Cette remarque conduit à la mesure du volume du cylindre ou du prisme tronqué. Soit P un cylindre coupé par deux plans A, B, menés d'une manière quelconque. Prenons le contre de gravité G de la section A : la section B est la projection de la section A sur le plan B, Taile paial-
Z» TBÈOnÈUS
kikiDfnt an râiêratrices du alindre; donc le centre d iiir, G « de Celle siclioa, est situé sur une parallèle aux ntrices, fcent^ par le centre de graTÎté de Tautre sect Far k5 f<*in:5 G et G\ menons deux plans, a, fr, normal r^i>êntrîoes. La substitution de ces sections aux seclioi IL !iies n'al:êne> pas le volume du cylindre (§ 216), di que le ii^lume compris entre les sections normales a c tnl au ic:ume donne; mais le cylindre ab est un cy cr::t,dor.t le volume s'obtient en multipliant la base, Si liir h hii:teur. GG' ; le produit Surf, a x GG' est donca n'.t^vsre cm «o!ume A6, et Ton obtient ce théorème:
Li ri Ik ^.f â'k»! <y!indrf ou rf'iin prisme tronqué est lep ce rz re cf i^a f>^cù4m droite par la distance des centres i r.«v ie se* cexj ^c^.-ic
Tv^siscs anras s» les ce5tges de gratité.
i I > . Lc-rf^e d^ f crées se font équilibre autour (fim i t . :*.: O. ce j^tnî est le centre de gravité d'un système ief
é'ialemeiit pesants places aux extré\ ' des droites représentatives de ces /«
'f Soient
3Lïi Y», Za.
K^ vi'nîjOSxiiites suivant les trois axes rectangulaires 01, 0/ iîe< ?j forces qui sollicitent le point 0. L'équilibre a lieu, oiuiura
Vn point matériel de poids p, placé à Texlrémité M d
Sl'R LES CENTRES DE GRAVITE. 531
P*iî)f OM qiiireprésenle la première force, a pour coordonnées 1 lï=\,. PN— Y,, NM=:Zj. Les composantes des Ibrces don- I ÉB ri'prL-sctilent ainsi les coordonnées des points mati;- I liristiirrespondanls. Le cenlre de gravité de ces points, supa lotis égaleiuenl pt^sanls, a pour iroordonn6cs
Sp 1,, •
is sommes £X,l¥, IZ, étant nulles, il en est de même I bcoonionnées Ç, ij et Ç. le centre de gravité est donc à l'o-
Ua pourrait aussi pbccr tous les points matériels M a une k\tBce constante de lorigine, sauf à leur donner à clia- 1 poids proportionnel à la force correspondante OM
Us. Lorxque différentes forces sont appliquées & un même î, la résultante de ces forces fiasse jiar le cenlre de gra- ■^un système de points également pesants placés aux I des droites représentatives de ces foreesy el elle est ■ produit de lu distance MG par le notrd>re des forces
Soient MF, MF', MF", .... les n forces données; elles sont tao» en équilibre par une force MR, égale et conlmire à ^ résultante. Plaçons des poids égaux p aux points ^J'-f, ... el au point îl ; le centre de gravité de ces points «nie point M. Soit G le centre Apivilé des poids placés en ^f1F', .... On obtiendra le CHitre de gravité M du sjs- •^e total en composant le ^'ï- '*■
p™s np appliqué en G avec le poids p appliqué en lî. Donc loirtHs points R, M, G sont en ligne droite, et MR est égal à "hisHG.
Fig. 199.
