APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

22 i. Soient ARC un triangle, 0 le centre du cercle circonscrit, et G le centre du cercle inscrit. On demande de déterminera distance OG de ces deux points.

Le point 0 est à des distances égales, OA = OB = 0C=:It, des sommets du triangle.

Le point G est à des distances égales, Gfl = C6=Gf=''> des eûtes du môme triangle.

Plaçons en A, en II et en C des poids tels, que le centn'A' gravité de ces trois poinis soit au point G. Appelons p,/»/'

tSSCniT ET CIRCONSCRIT \ L'N TRIASGLE. 337

)m poids plaa-s en A, en It et en C, et prenons les momenls successivement par rapport aux câl6s du triangle. Nous aurons, et jppelanl h, h', h', les hauteurs Aa, B?, Cy, les trois équatidos :

pxA=(/i + p' + p')xGa = (p + p' + ii")r, p'Xh' = ip + p' + p"]r.

jrxh"^lp + p' + P")r.

Donc

;lA := p'k' = p"h".

dparsuîle, on peut faire />^fl, p'^ 1. b, t, les trois cAtés du trianîle: caries produits aA, bh', f/i", tllc produit (aH-fr + c) r sont tou les quatre égaux au double delaire du triangle.

On sttisl'ail à la condition demandée en plaçant au point A un pfiids a proportionnel au e61è BC ; en B, un poids b, proporiîoiinel à AC ; en C, un poids ', proportionnel à AB.

Appliquons le théorème du iîîl au point 0 et au système ainsi formé. Nous aurons Tiquation

iJrxii + o5'xt + ûï:'xc = cÂ*>;« + GB'x4 + iïc'x«

+ ()(i'x{a + fc + «),

tu bien

B»X[« + » + c) = CÏ*xa + Ûïi*X6 + ci?xo + ÔG' X (a + 6 + cl-

BjsolTanl par rapport à l'inconnue OG', il vient

U dernier terme du second membre peut être simplifié-

S58 DISTANCE DES CEUTRES DES CEBCLES

Dans les triangles rectangles GAb* GCa, 6Bc, les hypotënu GA, GB, GC, sont exprimables au moyen des côlés Ga, Gi, < qui sont tous égaux à r, et des sinus des angles opposés, r

pectivement égaux à 31 ^, ^. On a