GC
tiii|>
Substituons ces valeurs ; il vient
Faisons on sait que
=»*-'*xL — 7+T+-C — i
. , A [p^b){p^c) ^*" 2 - bi '
sin' - = ii ^ '•
1 ab
2 ab
Donc
sin ,, .... ,, .... ^,
I * \ abcxp
{p — a)[p^b)) (p - a) (p -6) (p-«r et enfin
INSCIIIT ET CIIlCO^SCRIT A US TRIANGLE.
îbîl S la surrace du Irianglc ABC. On aura à la fois
s = \/inr-'>)[i'-i>][ii-ci.
Remplaçons dans le numérateur 6c par -.— y, et pr pnr S ; et dans le dénominateur, p {p — a) (p — t) {p — c) par S':
Prolongeons la droite AG jusqu'à la renconire 1 avec le cercle circoRscril, Le point I sera le milieu de l'arc BC, et la droite 01 coupera la droite BC au point K à angle droit et en deux parlies égales. L'angle au centre BOI est égal à l'angle SAC, inscrit dans le cercle et sous-tendant sur la cîrconrérence un arc double de DI. Donc
Ôi? = R«— îllr.
La distance OG est en définitive une fonction des deus quantités B et r. Donner en grandeur le cercle inscrit et te cercle circonscrit, c'est donner en même temps la dislance de leurs cenires. Il en résulte qu'étant donnés deux cercles dans un plan, il n'est pas toujours possible de construire un triangle qui soit inscrit dans l'un et circonscrit à l'autre ; et que s'il est possible d'en construire un, on peut en construire i une infinité d'autres. Plus généralement, étant données deux courbes du second ordre dans un plan, il n'est pas toujours
5i0 APPLICATIONS
possible d'inscrire dans Tune un polygone fermé d'un nombi*e déterminé de cAlés qui soit circonscrit à Tautre, et s*il ; en a un, il y en a une infinité '.
225. Étant donnés un cercle 0 et un point A dam le plan de ce cercle j on mine par ce point deux droites rectangulaires AC, AC, qui rencontrent la circonférence enB etC. On joint BC, et du point A oit abaisse sur BC la perpendiculaire AP. On demande le lieu du point P, pied de utk perpendiculaire.
Soit R le rayon du cercle; faisou AB=x, AC = y. Le point F divise Thypoténuse, BC, du triangle rectangle ABC en segments proporlionneb aux carrés des côtés de Tangle droîL Donc le point F est le centre de gravité du système formé par un poids égal à y* placé en B, et par un poids égal à x* placé en C. Cette remarque nous donne immédiatement la dktance OF; en effet, appliquons le théorème du § 221* nous aurons
Fig. »l.
Or
OB = oc = R, CP = KL^.
L'équation devient donc
îtVy-hx«) = (x«4-y«)ÔP +
ou, en supprimant le facteur x* + y*,
I Ce théorème, démontré pour la première fois par Poncelct dans son îf^i^ d€$ propriétés projectivei des figures (section IV, cbap. ni), a été rattaché d'uiK manière très ingénieuse par Jacobi à Lu théorie des fonctions elliptitiues.
GÉOHËiniQL'ES. 311
Maïs APxBC, double de la surlace du triangle ABC, esl égal à AB X AC ou à xy. Donc
Prenons le milieu 1 de AO; nous supposerons deux poids ^gaux placés en A et en 0, qui auront leur centre de gravité en I, et nous appliquerons encore le Ihéoréme- Il viendra
