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et par suite

Donc PI est constant, et le lieu du point P est une circonrércnce décrite du point I comme centre avec un rayon

. /it^

226. ttnnt donnés {fig. 202) n points malërieh A, B, C, ... D, dont Ux poids respectifs sont p,, p,,... p., et une droite LL', on abaisse de tous ces points sur la droite des perpendiculaires, Aa, fifr,... bd, et on forme la somme

xp,4--..+M'xp,

du carré de la distance de chaque point à la droite, multiplié par le poids de ce point.

Par le centre de gravité. G, du système des n points, on mène vue parallèle Xk' à la droite LL', et sur cette parallèle on abaisse <tet points donnés des perpendicitlaires As, B^, C-^t -••. DS. On forme la somme l„

io = Â^x;ii + iJ?x/i, + ... + îJ?xp..

Cela posé, la tomme I est égale à la somme I^, augmentée du pro-

ut THËOHËXES

du carré de la dislance des d(Ut droite» LL', XX', multiplié par le poids total du système.

Menons un plan Pf perpendiculaire aux parallèles 11', X>.', puis projetons orthogonalement sur ce plan tous les points donnés, A, B, ... D; nous oblenons ainsi les points A', B',..., I/, auxquels nous pouvons attribuer '"T les poidsp,, p„ . .. , p,. Le centre de p I gravité du système projeté sera la — f-y projection du centre de gravité G y dusystèmedonnè(gl68,Rem.II);

/ ^yÇ' soit X ce point, et soit L le pied de

^•s-ioi- la droite II'.

Nous pouvons appliquer le théorème précédent (g 221) au système projeté ; il viendra :

(Â^*xpi + M?xpt+... +irPxp.)

= (v;*Xj', + B?Xp,+ ... + D^Xpm)+L?XlPi+p,+ ...+f.l-

Or, les dislances Aa, Bb, ... Dd, des points donnes à la droite LL', se projettent en vraie grandeur sur le plan PI", et ont pour projections les dislances des points A', B', ....D', au point L. On a donc : A'L==Aa, B'L = B6, ..., D'L = Dd. De même, A'X = Aa, ...,D'X = Dî; et par suite, l'équalion précédente peut s'écrire :

Â? X Pi + Bt' X p, + . . . + lld' X r« = ÂS'xPi4-B?Xp,+ ... +D?Xpj. + L?X(Pi + ..

c'est l'ciprcssion algébrique du théorème qu'il s'agissait de démontrer.

Corollaires. — 1* La somme des produits du poids de chaque point par le carré de sa distance à une droite LL' est la môme pour toutes les positions de cette droite sur la surface d'un cylindre droit à base circulaire, décrit autour de la droite XX' comme axe.

2° Elle est minimum pour l'axe XX' lui-même.

11 serait très facile d'établir directement ces diverses pro-