CENTRE DE GRAVITE

distance à ce point (V, ait une valeur constante. Nous trouverons pour ce lieu une circonférence décrite du point 0 comme

centre ; et la somme JO'm x du) sera minimum quand le point 0' coïncidera avec le point 0. On peut donc définir le centre de gravité de la courbure, le point du plan tel que l'intégrale /r'do), des produits de Fangle de contingence de chaque arc par le carré de sa distance au point, soit la moindre possible.

Un théorème de Steiner montre l'utilité de ces définitions.

Soit AB une courbe fermée qui roule sans glisser sur une droite fixe AÂ'. Dans ce mouvement, le point M, appartenant au plan de la courbe mobile, décrit une roulette fiiNM' : nous dirons que la roulette est cor.plète quand le point A de la

courbe mobile est revenu pour la première fois au contact de la droite directrice, en A'; alors le point H se trouve en M', et la roulette se prolongerait au delà par une nouvelle branche de courbe, qui serait la reproduction de la courbe MNM' déjà décrite. Évaluons l'aire comprise entre cette courbe, et les trois droites MA, AA', AU'.

Pour cela, considérons la courbe mobile dans une position B" quelconque. Soit N la position correspondante du point M, et C le point de contact de la courbe roulante. La droite CN sera normale à la roulette au point N. Concevons qu*on imprime à la courbe roulante un déplacement infiniment petit, qui amène le point N en N^ et qui fasse passer le contact du point C aux points C et C* confondus en un seul. La surface comprise entre les deux droites CN, CN', toutes deux normales à la roulette, est un élément de Faire cherchée. Menons

DE LA COUItDUIlE. W

la diagfinalc CN'. L'élément considéré est la somme des deux Irîanjîles NCN' et CN'C, ou liieii, en observant que les points C, C sont à une distance infiniment petite du second ordre, ce qui rond négligeable la siiH'ace du petit triangle CC'C, la somme des deux triangles NCN' + CN'C".

Le premier NCN' est le secteur décrit par le rayon CN quand la courbe loulantc tourne, autour du centre instantané C, d'un angle NCN' égal à l'angle de contingence de l'arc CC", ou égal fa du -, appelant donc r le rayon CN, le premier triangle aura pour mesure \ r'ilu.

Li; second triangle, ŒC°, est, à des infiniment pctilsd'ordre supérieur prés, égal au triangle CNC, qui a pour mesure ir'dfi, en représentant par rfe l'angle C'NC que fait, dans la courbe roulante supposée lixe, le rajon NC ^y+dr avec le rayon NC^ r.

La surface de la roulette complète a donc pour mesure la somme des intégrales

S=\J\'du-t\fr*Ji,

les quadratures étant prises tout le long de la courbe, en partant du point A, et en revenant à ce point après avoir fait le tour de la courbe.

Dans cette opération, le second terme \ fi^dl donne la Bnrfacc A de la courbe roulanti' Alt, quantité conslanle quelle que soit la position du point M. Le premier terme, moitié du produit de la courbure de chaque élément par le carré de sa distance au point M, reste le même quand on fait varier la position du point M sur une circonférenre qui aurait pour centre le point 0, centre de gravité de la courbure de la courbe AB.

Donc:

i* La aires de» roulettes eiujendrées par divers points M, pris daai le plan de la courbe AG, sont équivalentes, si les dislances de tes points au point 0 sont éijates;

2" La roulette d'aire minimam est celle qui est engendrée par U point 0 tui-même.

316 THÊORÈXES

Steiner a aussi comparé Taire de la roulette complète engendrée par le point M avec Taire de la podaire de la courb^' AB, supposée fixe, par rapporlà ce même point M. La podaire d'une courbe est le lieu des pieds P des perpendiculaire '« ab:iissces du point H sur les tangentes CP à la courbe.

L'aire élémentaire de la podaire PP' du point M par rapport à la courbe AB peut être regardée comme égale à la somme

du triangle MCC et du triangle IPP'. La pre-

miére partie a pour mesure ^ r'c/O, en ap-

^ / pelant r le rayon MC, et dO Tanglc CMC. ^x - — -jj^^ J ^

/ ^;/>i La seconde a pour expression ^ IP* x A»,

V dtù étant Tangle de contingence de h

courbe AB. Faisons MP = i>, distance do

"" point H à la tangente à la courbe ; IP est,

à un infiniment petit prés, égal à CP, ou à \'r^ — p*; de sorte

que Taire S' de la podaire est égale à la somme

\fr*d9 -h 1 J^lf* ->«)</«= S'.

Or Taire élémentaire de S' est aussi égale à Taire du trian-

^'lo MPP\ qui a pour mesure ^ pVw. On a donc

les intégrales étant prises tout le long du périmèlre de la courlH\ en revenant au point de départ. Ajoutant, il vient

ol comparant à Taire de la roulette décrite par le point M, on en déduit

L'aire de la roulette est double de celle de la podaire. ht

DE STEINER. ÎH

tuite, b podaire dont l'aire est la moindre possible coircsfnml 90 ca^ nù le point M, que l'on projcilc sur les tangentes, coïncide avec le centre de gravité de la courbure; et à ditté- RDts{ioînts M égnlemenl éloignés de ce centre, correspondant des podaires de uièmc surface.

Remarquons encore avec Sleiner que l'arc PP' de la podaire H^gal à l'arc MM' qui lui correspond sur la roulette décrile pt le point M, quand on fait rouler la flurbe Al", sur une tangente CP, supposée ht (^.205).

L'arc MM' est en effet égal it i(/w. Les mgles MPI. MP"! étant droits, les quatre frais M, P, V, I sont sur la cii confonn' e léoitesur Ml comme diamètre. L'arc PP' k\i podaire se confond avec l'arc de / «Uï circonférence, lequel correspond à *'' ™^

ta ïnglc inscrit PIP' = (iw; il est égal au double du produit

fc^par le rayon du cercle, ou bien pur g MI, ou enfm par

ïSC= -r; car le point I est infiniment voisin du point C.

ItHicenfin Pl" = rrfo»^MM' : les airs correspondants sur la piairt ft sur la roulette, décrits au mojjen d'un même point M,

ml tgaiix fjitre eux.

I JBUCITION DE LA TnËOItlB DE Ll PESANTEUR A LA nËSOLUTION DES ÉQl'ATIOKS. — HàCIKEB IIËELLES.

"wtqaation numérique dont les coellicienls tr^, o,, (7,,... ^tiuiitdcs nombres réels, positifs ou négatifs; attribuons ' l'inconime x une valeur réelle a, positive ou négative ; pus sur une droite indéfinie OX portons , à partir de lori-

r<M APPUCATIOK DE U STATIQUE

gine 0, en tenant compte des signes, les longueurs sumntes

oc = ««

Aux points ainsi déterminés appliquons des points matériels dont les poids soient respectivement égaïux aux coelScients de Téqualion : au point A un point matériel pesant a., au points un point malériel pesant n..^, .,., au pointPoo

, ^ - , , point matériel pesant

^ ^ • * ' a^. I-a pesanteur sm

^^^' **• censée agir dans in

sens sur ceux de ces points qui correspondent à des coefficients positifs, et en sens contraire sur ceux qui correspondeat à des coeificients natifs.

Cela posé, on composera ensemble toutes ces forces, et on trouvera généralement une résultante unique appliquée en im point de la droite OX. Pour que a soit racine de l'équalioo prop.)sée, il faut et il suflit que le point d'application de b résuîlanle soit l'origine.

Kn etïot , lo moment de la résultante est égal à la somme algébriciuo dos momonls des composanles, c'est-à-dire à la Taleor

il cs( donc nul, cl la résullanle passe au point 0, si 2 annule le premier membre de Tcquation. Il y a un cas d'exception à cclltî conclusion : c'est celui où la résultante elle-même serait nulle, ce qui suppose la somme algébrique

rpalo à zéro. Mais on peut exclure ce cas, car il en résulterait que la proposée admettrait pour racine l'unité, ce qu'on peut toujours reconnaître facilement ; il suffirait alors de diviser le polynôme de léqualion par x — i , ou par une puissance de (x — 1), pour obtenir une équation qui n'admetle

A LK hESOLUTtOS DES EQUATIONS. SIS

plus celle rarinc, el qui ne ilunue plus prise à l'objection. A chaque racine réelle de la jirojws^e rorrespoiid donc mir la droiU indéfinie OX une disfribtilion des poidu {positifs on tiéijallt/s| 3„ a,, .... a„, telle, t/ue le centre de gravité de leitrensem- Ue soit l'oriyine. Celle remarque est le principe d'une balance t résoudre les équations numériques, imaginée par Pérard et réalisée par M. LaUnne; nous en donnerons une description dans le chapitre suivant.

229. Les racines imaginaires donnent lieu à un théorème UUlogue; au lieu de dislribuer les poids a^, a^, a„ ... a„ sur le m^me droite, il surUl de les distribuer dans le plan suint une certaine loi.

Supposons que les coefficients o„, a,, ... n„, soient eux- :incs imaginaires, cl posons d'une manière générale «, = r.(co8M.+v'=n»in^,).

Le module, r,, de ce nombre imaginaire est un nombre csiliellement positif. Vargument [).» peut être supposé coiiiiris entre les limites — x et -1- x. Pour rendre o, léel, il sufde faire i<.,= 0 ou 1*» = ::. Dans le premier cas, a^ est un nombre positif, et dans le second un nombre néjjatif. Soit

bne racine de l'équation donnée. Subsliluons celle valeur; l'équation se sépare en deui aulres, en égalant à zéro la partie réelle et le coefficient de ^ — i. On obtient ainsi les deux seU lions

(«9 + ^1 + ,,,"-'«» [(m-ll»+,.J + rtf"-'«is({«-31»+^ + ■■■ + '■«-11= ""(• + ''«-i) + '-*=" ''- = <'■

3» tQUin05 DU 8BC0KD DKGBI.

d'où Ton déduit Déplus

OB s SOioos AOB = Sfcos».

On a donc OU I ien

et enfin

On en déduit

sin»

nM¥=

et la racine cherchée a pour expression algébrique

Lu marche que nous avons suivie semble difTérente deceUe qui a élô exposée § 229 pour Téquation générale du degré». Cos deux méthodes rentrent cependant Tune dans rautre,en veilu du Ihëorùme du g 218 ; le point 0 est le centre de gravité d'un système de poids égaux respectivement à ç, àpeli l'unifé, appliqués respectivement aux points A', B' et C, ides distances O.V=l, OB'=p, OC=p«.

tOUiUBRB d'un Tétraèdre.

231. On propose de démontrer qu'un tétraèdre est en équilibre quand il est soumis à l'action de quatre forces normales à ses faces, appliquées en leurs centres de gravité, propor-

^^P EQUILlDnE D'il» TÉTRAËDIte. 353

lionnelles à leurs aires respeclives, et dirigées toutes vors l'intérieur du corps, ou loules vers l'extérieur.

Soient A„ A„ A„ A, les quatre faces du lélraèdre; les lel- Ires désignent à la fois les faces et les aires de ces faces. Une face quelconque, A„ est égale à la somme iilgébriqiie des ])rojeclions des Irois autres sur son propre plan. On a donc Tèquation

os(OJ.

Les forces P„ P,, P,, P,, respectivement appliquées aux mires de gravité, G„ G„ G,, G,, des quatre faces, sont proortionnelies aux aires de ces faces, et par suite

Or l'angle de la face A, avec la face A. est égal au stipplément de l'angle que fait la normale P, sur la face A, avec la normale P^ sur la face ^^. pourvu qu'on dirige ces deux normales à la fois ■Yors l'intérieur, ou à la fois vers l'extérieur de la pyramide. Il en est de même des angles (A„A,) el (A,,A,), de sorte qu'on peut écrire.

p, + p. Ma (K~K) + P. costpTPi) + P> cos (iS;'?.) =".

ce qui indique que la somme algébrique des projections des IbrcesP,, P,, P,, P, sur un aie normal à la face A, est identiquement nulle. On démontrerait de même que la somme algébrique des projections des quatre forces est nulle sur les axes normaux à deux des trois autres faces, et par suite elle est nulle pour un axe quelconque mené dans l'espace. La résullanle de translation des quatre forces P,, P,, P„ P, est donc nulle, et la première condition de l'équilibre est vérifiée.

Pour achever la démonstration, il suflit de prouver que la aomnie des moments des quatre forces est nulle pur rapport à trois droites au moins, non parallèles à un même pbn.

ÊQUIUBRB

les quatre forces se réduisent à un couple; or ce couple, ne pouvant être à la fois parallèle aux trois droites par rapport auxquelles son moment est nul« est nécessairement nul, et par suite Téquilibre est assuré.

Soil SABC ifig. !209) le tétraèdre donné, dont nous supposerons la base, ABC, placée dans le plan du papier. Les arêtes SA, SB, SC sont supposées projetées sur le plan de h bj^e.

pour avoir les projections des centres de gravité des faces latérales, nous prendrons les milieux a, fr, Cy des côtés de la base, nous les joindrons à la projection du sommet S, et noos prendrons les points a\ b\ r^ aux deux tiers des longueurs Su. Sfr, S^. à pailir du point S. Ce seront les projections des centres de gravité des Taces latérales.

Les forces appliquées aux points a', b', d^ sont normales aux faces correspondantes ; leurs projections sont donc perpendicuhires aux traces des plans des faces , c'est-à-dire an

Fi-. «9.

o«*'lr< AH, r.C. AC, cîe la base. Menons par les points, o', M.iy ilos iImmIon fl'M, fr'M, f'M, perpendiculaires à BC, AC, AB; les loicos appliqueras aux faces latérales seront contenues dans K^ plans projolanls û'M, fr'M, f'M.

Crs trois plans projetants se coupent suivant une raérae ihuiii' pirpoiMliculaire à ABC, et projetée au point M. Il suffit pn.r K «Ifinonhvr de faire voir que les trois droites a'M, i% r M o'i un joint commun. Or si Ton mène par a\ b', c' d^

O'ITN TËTnAÈDRE. 3U

parallèles h BC, AC, AB, on forme un triangle agy qui esl semblable au li-iangle ABC, et dont les points a', b', c' sont les milieux des calés. Les droites a'M, b'M, c'M sont les perpendiculaires élevi^es au milieu de ces trois côlùs; elles concourent donc en un point M, centre du cercle circonscrit au triangle a^.

La force oppliquùe au centre de gravité 0 du triangle ABC esl normale au plan de celte face-

Donc, des quatre forces P,, P„ Pj, P„ trois rencontrent la droite projetée en M, et la quatrième lui est parallèle. ' Le parallélisme de deux droites n'est qu'un cas particulier ■de leur rencontre ; on peut dire par conséquent qne les directions des forces P,, P„ P,. V^ rencontrent la droite projetée en M. et par suite qu'elles rencontrent quatre droiles, respectivement normales aux laces du tétraèdre. Ces quatre droites ne sont pas toutes parallèles à un même plan.

La somme des moments des quatre forces P,, P,, P„ P, est donc identiquement nulle par rapport à quatre axes non parallèles à un même plan, et nous avons vu que cette condition achève d'assurer l'équilibre.

232. La proposition, démontrée pour le télraédre, s'étend immcdiatemeni à un polyèdre quelconque, car on peut toujours décomposer un polyèdre donné en tétraèdres, puis appliquer des.forces égales et contraires aux centres de gravité des faces communes h deux tétraèdres contigus, ce qui satisfait aux condilions d'équilibre de chaque tétraèdre en particulier, sans rien changer aux conditions d'équilibre de l'ensemble, c'est-à-dire du polyèdre donné.

Mais si la proposition est vraie pour un polyèdre quelconque, elle s'applique aussi à un solide de forme enlièrement arbitraire; un solide est donc en équilibre quand sur tous ses éléments superficiels on applique des forces normales, proportionnelles â l'étendue de chaque élément, et dirigées toutes vers l'intérieur, ou toutes vers l'extérieur. C'est pour cela qu'on corps solide quelconque plongé dans un fluide sans pesanteur et en repos est nécessairement en

356 ÉQUILIBRE D'UN TÉTRAËDBË.

équilibre sous l'action des pressions normales que développe sur tous ses éléments de surface. Nous à revenir plus tard sur ce théorème, qui a une gra portance dans l'hydrostatique, et nous en donner< autre démonstration.