DE LA PESANTEUR
les hauteurs des points donnés, au-dessus d'un même plan horizontal, dans la position initiale du système, et
les hauteurs des mêmes points, dans une seconde position. hmr trouver le travail de la pesanteur correspondant au passée de la première position à la seconde, il faudra former pour chaque point le produit px(z — Z), et faire la somme algébrique de tous ces produits; le travail cherché, T, e^t iuiné par l'équation
fi*on peut écrire :
Or, appelons % la hauteur, au-dessus du plan horizontal de cmparaison, du centre de gravité du système dans sa prettère position (§ 151, Rem.), et Z la hauteur du cenire de griTitè du système dans sa seconde position ; nous aurons 6168) :
PtSl + r«»f+...4-/>l|3|l=(Pl + Pl+...H-/>l«)X5,
pA-hpA-i- ...-l-p»z«=(pi-f-ri4- ...-i-f>i»)xz. Introduisons ces valeurs dans l'équation (1), il viendra
Le travail de la pesanteur sur un système matériel qui subit n déplacement fini ou infimment petite est égal au poids total ktijstème^ multiplié par la quantité (positive ou négative) dont ^iescendu son centre de gravité en passant de la première po- >tion à la seconde.
Le travail de la pesanteur est nul si, en passant de la pre- ■ière position à la seconde, le centre de gravité ne change |is de hauteur.
560 ÉQUIUDRE D*U!I SYSTÈME PESAI.
COKOmOTi d'équilibre D^CN système matériel a L1A1S0K8 COMPLÈTES, Q(:i K*EST SOLUCITÊ QUE PAR SOI! PROPRE POIDS.
255. Nous avons démontré (g 134) que, pour qu'un système matériel à liaisons soit en équilibre, il faut et il suffit que la somme des travaux virtuels des forces appliquées à ce système soit nulle pour tout déplacement compatible avec ces liaisons.
Appliquons ce théorème à un système pesant, que nous supposerons d'ubord à liaisons complètes; Fèquilibre de ce système sous Inaction de la pesanteur et des forces qui tiennent lieu des liaisons, sera assuré dans une position partioh lière, si le déplacement infiniment petit qu*on peut supposer imprimé au système à partir de cette position, n'altère pas h hauteur du centre de gravité. Car alors (g 234) le travail de la pesanteur est nul. Le système étant à liaisons complètes, tous les points qui le composent, et le centre de gnvilè de ces points, décrivent des trajectoires définies ; le déplacement virtuel subi par le centre de gravité s'opère donc suivant un arc inlinirnent petit d*une trajectoire dêlerminée, et pour que le travail de la pesanteur soit nul, il faut el il siifVit que ce petit arc soit horizontal. La position d\'quilibre du système est donc dèfmie par cette condition que le cenlre de gravilè occupe sur sa trajectoire le poini où la tangente est horizontale. Pour trouver les positions d équilibre, on construira la trajectoire du centre de gravité; on mènera à celte courbe des tangentes horizontales, et les points de contact seront les positions du centre de gravité lorsque Téquilibre existe; à chacune de ces positions correspond pour le système une position d*équilibrc.
"iôd. Prenons pour exemple une droite pesante homogène, AH, donl les deux extrémités A el B sont assujetties à glisser sans IVoltemenl le long de deux droites fixes rectangulaires, OX, OY, tracées dans un plan vertical.
A LUISOSS COUl'LETES. :i6l
Lg cenire de gravité G du système donné est le milieu de la droite AB; l'angle AOB étant droit, la distance GO est égale à la moitié de la longueur AB, et par conséquent, le lieu décrit par le centre de gravité est la circonférence GCMD, décrite du point 0 comme centre avec un
rayon égal à ^ AB. Par le point
0, menons une verticale MN; elle coupe la circonférence en deux puinis M et N, où les tangentes MT, NT seront horizonlaies ; ce sont les positions il'équilibre; des points M et N comme centres, avec des rayons
^ux i ô AB, décrivons des 'j;''
arcs de cercles qui coupent la "''"■ *"'
direction OV aux points A, et A, : les droites A,Gp A',B', seront les deux posîlloas d'équilibre qu'on peut donner à la droite mobile.
Ces deux positions se distinguent l'une de l'autre en ce que l'une, A,B,, est une position d'équilibre stable, tandis que l'iatre, A',B',, est une position d'équilibre instable. En elTel, si on donne un petit déplatiement à la droite A,B,, et qu'on l'abandonne ensuite, le poids de cette
droite tendra à la ramener à sa po- ^^'*
sition d'équilibre, tandis que si l'on y'""^ opère de même sur la droite A',B',. le poids de la droite tendra à l'écarter
de sa position première. En général, l'équilibre sfn^/e correspond à la position qui rend le centre de gravité le plus bas possible. L'équilibre est instable, au contraire, si le centre de gravité occupe le point le plus baut de sa trajectoire. 11 est également instable si la trajectoire PQ du centre de gravité (fig. 212) présente dans le plan vertical une inflexion au point H où la tangente HK est horizontale; car de quelque
r,C2 CQUILIDRE
cMé qu'on déplace le système, ou bien il tendra à s'écarter de sa position d*ëquilibre, ou bien il tendra à y revenir, mais pour la dépasser et s'en écarter ensuite de plus eq plus.
Enfin, il y a un cas singulier très remarquable, c'est celui où la trajectoire du centre de gravité est contenue dans un plan horizontal. Dans ce cas, l'équilibre est possible dans toutes les positions du système, et on dit qu^il est indifférent. Il en est de même lorsque le centre de gravité est immobile.
27)1. Pour achever la solution du problème que nous avoiis pris pour exemple, proposons-nous de trouver lis réactions lies droites fixes OA, OB (fig. 211), qui concourent avecle poids de la barre AB à tenir cette barre en équilibre dansb position A^B^.
Le poiilsde cette barre peut être considéré comme appliqué en son milieu M ; il agit suivant la verticale MP, prolonge ment de OM ; on peut d'ailleurs le représenter par la longueur A^B^ de la barre, en prenant Téchelle des forces en conséquence. Les réactions des points A^ et B^ sont normales i OAp OBp et contenues dans le plan vertical de la figure; leurs directions se coupent au centre instantané de rotation, P, de la droite \fi^, et ce pomt est situé sur la droite OM prolongée, puisque celte droite est normale à la trajectoire du point M. On peut donc regarder le poids de la barre comme appliqué au point P, et le décomposer en deux forces, suivant los directions PA^ et PB^ ; les composantes seront les réactions tliercliées. Si Ton représente le poids de la barre par sa lonjrueur AjBj = OP, la réaction du point A^ sera représentée par la longueur PAj=OBi, et la réaction du point l\ sera de niùni(» représentée par la longueur OAj.
La même décoinposilion s'appliquerait ù la position k\h\, qui correspond à l'équilibre instable.
DUS SÏSItîlE TESAST.
CO^t>lTIÙ^S DEQUILIDBE DVS SVSTÈIIE PESAST , COMrl.ÈTt-S.
35â. Lorsqu'un syslèmepesantn'estpas à liaisons complètes, il est possible que les liaisons soient suffisantes poui- assujellir lo centre de gravité de ce syslàme, soit à parcourir une surlacu fixe S, soit à rester dans une n-gion de l'espace limitée vers le bus i une surface S. Dans ce cas, le théorème du travail virtuel Joint au théorème du travail de la pesanteur, indique encore les Ooaditions d'équilibre; il faut etilsufltlque, pour tous les dépla< ocments virtUL'Is imprimés nu système h partirde sa position d'équilibre, le travail de la pesanteur soit nul, c'est-à-dire que le d^lacement correspondant du centre de gravitésur la surfaceS smi horizontal, c'est-à-dire enfin que le centre de gravité occupe un point P de la surface S où le plan tangent soit horizoalal.
L'équilibre peut d'ailleurs filre stable, ou itistable, ou coit- Jltionnrl ; il sera condilionncl si la forme de la surface S aux environs du point P esl lelle, que certains déplacements du système fassent naître une tendance constante du système wrs sa position d'équilibre, tandis que d'autres déplacements développont la tendance du corps à s'en écarter indéfiniment. La dynamique seule permet de distinguer ces divers caractères.
On peut admettre comme règle générale que l'équilibre do système est stable quand son centre de gravité occupe les points les plus bas de la surface S.
L'équilibre est indiffèrent si la surface S se réduit à un jiin horizontal; alors le système est en équilibre dans loules ses positions.
En résume, la recherche des conditions d'équilibre d'un système pesant à Liaisons se ramène à un simple problème de géométrie. Nous allons en donner des exemples.
ZU ÊQnUBRS
lOOLDU BUS STSTÈSB DB TIGES PESA!mS AITICULÉES, GORTEIECO
DASS UH PLAN TCRTICAL.
239. Soit ABCD un contour polygonal compose de trois tiges pesantes, AB, BC, CD ; la tige AB est articulée au poiot fiie A, c*est-i-dire qu'elle est libre de tourner autour de ce point sans rencontrer de résistance ; elle est de même articuK'e au point B avec la tige BC, qui est articulée au point C a\ec CD ; cette dernière tige est en6n articulée au point fixeD. Les trois tiges sont contenues dans un plan vertical. Oh demande la position d'équilibre.
Les tiges sont supposées homogènes ; leurs longueurs et leurs poids sont donnés. Leurs centres de gravité sont aux milieux 1, T, P, de leurs longueurs.
Soit
AB = I. BC=sl', CD = K
Le poids de AB sera représenté par p, le poids de BC parp', le poids de CD par p^.
Nous pourrions chercher le centre de gravité du conlour matériel ABCD; mais il esl plus simple de ramener tous les
i poids à être appliqués en des points de la droite BC.
Pour cela, décomposons le poids p en deux poids égaux à 1^ ;), appliqués Tun en A, l'autre en B. De roèfflc, substituons au poids [l'appliqué en 1" deux poids ;. V ,\ égaux à j p", appliqués Tun
Fu ^«3. en D, l'autre en C.
Les poids appliqués aux points tixes AetD ne donnent aucun travail pendant la déformation du quadrilatère ABCD. Il suffit donc de chercher le centre de gravité, G, des trois poids j/»,
D'IIS SYSTÈME PESAN7. Î65
p\ \ p*, appliquas en B, I' et C; le point G appariicndrn à la droite BC, et sera fixe sur cette droite, car les poids J p, p', JjB*, et leurs distances BI', l'C, quantités qui servent & dÈlermincr U position du point G, sont invariables.
L'équilibre exige que le point G soit le plus bus possible sur sa Irnjectoire ; mais on obtient la normale au lieu décrit pir le point G en joignant ce point nu point de concours, O, des normales Afi, DC menées aux Itajecloires des points It el C. La condition <l*équilibre est donc que la droite OG soit Teriirale.
On fera varier le quadrilatère ABCD; le point G décrira un cciiain lieu géométrique; on mènera à ce lieu les tangentes horizontales, et on aura les solutions cherchées. L'équilibre •table correspond aux points les plus bas de la courbe décrite par le point G.
S40. La solution s'étend à un contour polygonal de tant de eôlés qu'on voudra, attaché à deux articulations tîxcs, A et F, et contenu dans un même plan vertical. Fixons par la pensée la portion tlEt' du contour. Il faudra que le reste du contour, ABCD, soit en équilibre ; et par suite, si l'on détermine sur BC te point
G,, centre de gravité
dès poids -J/tj.p,, îp,,
appliqués en B, en ), et '
en C, la droite 0,G,
doit £lre verticale. De
mânae, on fixera Ail et
EF, el l'équilibre du
coatour BCDE exigera
que la droite 0,G, soit verticale. Le point G, est le centre de
graTÎté des poids Jp,, p,, jp„ appliqués respectivement en C, en l„ et en D. Fixant enfin ABC, et opérant de même sur les p<»d8p,,pj,pi, on reconnaîtra qu'il faut queO,GjSoitverlicale. Ces conditions suffisent pour définir le polygone. Soit en efret » le nombre des tiges AB, BC,... EF. Le DOtnbre des cAtés du polygone ABC.. .FA sera n+1, et le
