K^OC OB K "OD^OA

Bemarque. — Supposons qu'un point B soit assujetti à décri une circonférence 0, et qu'il soit attiré vers un centre fixe

A Ë(J('ll.inRE INDIFFÉnENT. 401

proporlionnelIemcnL à lu distance DC; on pourra subsliluci' aa centre C un aulre centre C, situé sur la mCme droite OC, sans changer le moment de l'atlraclion par rapport au point 0. Abaissons en effet du point 0 sur les druites CB, C'B les perpendiculaires 01, 01'; l'atlraction KxCB a I pour moment par rapport au point 0

ÏXCBxOI = KxOCxBII,

' et t'iltraction E' x C'B,

K' X CD X 01' = K' X oc X BH.

U y donc ég.dité entre ces deus moments, (|uelle que soit la position du point 1! tur le cercle, pourvu qu'on ait KxOC = K'>^OC',

c'est-à-dire pourvu que les attractions exercées successivement par les points C et C sur le centre 0 du cercle soient les mûmes.

Comme cas particulier, on peut supposer le point C indétîniment éloigné, et remplacer par la pesanteur, agissant parallèlement à OC, l'attraction eiercêe par le poiiit C sur le point mobile.

BALANCE A IIËSOUDRE LES ÉQUATIOKS XTHÉBIQUES.

262. Soit 0 l'origine d'un système d'aies rectangulaires Oï, 0¥ (fîg. 240). Construisons tes lignes représentatives des équations

La première représente une ligne droite OB, la seconde une par>ibolc du second degré O^B, la troisième une parabole

cubique O^B, la quatrième une parabole du quatrième degré O2B. On pourrait continuer indéfiniment cette construction pour les paraboles des degrés supérieurs ; nous nous arrêterons dans cet exemple au quatrième degré.

Piff. SICW

Toutes ces lignes passent par les points 0 et B, ce dernier correspondant à Tabscisse 0A=1«

Traçons de Tautre c6té de Taxe les lignes Ox'BS 0^'B', O^'B', Os'B', représentées par les équations :

liiiii<:iiiuns que des poids soient suspendus en des points ;jssnjeUii; à glisser librement le long des lignes ainsi tracées, et tju'oii dispose une règle MM', perpendiculaire à Taxe Oï, de nianiùre à ranger à la fois tous ces points sur une nicnie ligne droite. L'appareil, supposé mobile dans le plan Ncrlical autour du point P où la règle coupe Taxe OX, pourra servir à résoudre une équation du troisième degré dont on donne les coeflicienls numériques. Soit Téquation

fi^^ ^ -f <7|i* 4- a^x -f- «5 = 0.

On suspendra un poids égal ù d, en valeur absolue, au point a si a, est positif, au point a' si a, est négatif.

DE DERARD. lOZ

On suspendra un poids i-gal h a, en valeur alisolue an

poinig ou iiu poini &', suivant que a, csl posilîf ou nt'galil'. De môme, on suspendra un poids égal it ± a„ au point y

ou au point ■/, suivant le signe de a,; en ô ou en V, un

poids égal û ±a^.

On fora ensuite osciller le Héau M'M aulour du point P;

s'il reste en équilibre dans sa position horizontale, j;=-^

sera racine de l'équation.

rn = "'.

L'équilibre ayant lieu, l'équation des moments est saligfaile, et l'on a par conséquent, en tenant compte des signes,

Supprimant le facteur 0, on reconnaît que x := 0 est racine de la proposée.

On fera glisser successivement le système de lignes OBB' le long de l'axe OA, sans déplacer la règle MM', ce qui fait passer le nombre <i par tous les étals de grandeur entre 0 et l'unilé ; les oscillations du fléau autour du point P indiquent les positions d'équilibre, c'est-â-dîre les rarincs de la proposée comprise entre ces deux limites.

On saura donc si la proposée a des racines réelles positives el moindres que l'unité, et quelles sont ces racines. On peut toujours ramener la résolution d'une équation à la recherche des racines entre 0 et l, en changeant successivement j: en — I, en - et

404 BALANGB DE M. LAUNNE.

Telle est la disposition imaginée par Bérard. Elle était peu pratique, parce que les lignes qui guident les points d'attache des poids mobiles se rapprochent et se confondent près du point 0 et près des points fi et B^ La balance de Bérard n'a jamais été exécutée.

M. Lalanne a modlGé l'appareil, et en a fait une machine possible. L'artifice auquel il a eu recours pour séparer les unes des autres les lignes OaB, O^B,..., consiste essentiellement à substituer aux lignes tracées par Bérard les lignes

a, ^, Y9 ^9*** é^^^^ d^^ nombres arbitrairement choisis, qui permettent d'écarter autant qu'on le veut les divei^ses lignes directrices.

Si l'on suspend, en des points de ces lignes correspondants à une môme abscisse x, des poids a,, a^^ a^, a^, la somme des moments devient

elle diflère de la valeur qu'elle aurait dans l'appareil de Bérard de la quantité

Or cette quantité reste constante dans tous les essais qu'on a à faire pour résoudre Téqualion. On n'aura donc qu*à disposer d*un ou de plusieurs contre-poids, placés à des dislances lixes du point P, pour annuler cette somme, et la balance fonctionnera alors comme si tous les points d'attache étaient réellement ramenés sur les courbes de Béiard.

M. Lalanne a construit d'après ce principe une balance qui permet de résoudre les équations du septième degré.