CHAPITRE PREMIER

OtS MACHINES SIMPLES.

26Ô. Par markines simples, on entend en statique le /«• vier, le treuil, le plan iiKliné, le polygone funimlaire, el leurs combinaisons les plus clëmcnlaircs, telles que la m, la poulie, ]es moutles, la grue, le coin. Nous allons passer en revue ces diverses machines, et appliquer à chacune les principes généraux posés dans les chapiires précédents. Nous y joindrons l'élude de quelques questions relatives aux résistances paS' tives.

ËQUILIBIIE DU LEVIER.

2(i4. Le levier est une barre solide, AB, droïfe ou courbe, assujettie à tourner autour d'un point nxe,0. On applique une force P à l'une des esirémités A lie celle barre, et une force R à .-«

l'autre cxtrémilé B; l'une de ces ^Z '"' ' ''' lorr*s, la force P par exemple, __

prend le nom de pmssance, / ' •)'

l'autre, la force R, le nom de ■• »• résistance. On lîemande les conditions d'iïiiuilibre du svslcme solide AB.

Cette question a été résolue (g 88), lorsque nous avons

mê ÊQCIUBRE

traité le problème de Téquilibre d'un solide qui a un point fixe. D faut, pour l'équilibre, que la somme algébrique des noments des forces P et R, par rapport à trois axes coordonnes menés par le point 0, soit nulle; et la charge du point 0 est la résultante des forces P et R, transportées parallèlement à elles-mêmes en ce point.

Nous pouvons opérer autrement. Au point 0, appliquons deux forces, P et — P, parallèles et égales à la force AP; appliquons au même point deux forces R et — R, égales et parallèles à la force BR. Nous ne changeons rien à Téquilibre du système par l'addition de ces forces qui se détruisent deux à deux. Les forces OR, OP, composées ensemble, donnent pour résultante une force OF, qui est détruite par la réaction du

point 0, et qui mesure la charge subie par ce point. Restent les deux couples (P, — P), (R, — R) qui doivent se faire équilibre. Les axes de ces couples sont l'un perpendiculaire au plan (0, .\P), l'autre au plan (0, BR); ils sont d'ailleurs proportionnels aux moments P x OR, R x OK, de ces couples. Enfin ils se composent à la manière des forces. Pour qu'il y ait équilibre, il faut et il suffît que ces deux axes soient égaux et qu'ils soient dirigés en prolongement Tun de Tautre.

La condition d équilibre exige donc que les forces BR, AP, et le point 0 soient situes dans un seul et même plan; que les forces P et ï{ temlentà faire tourner le levier en sens contraires; et que leurs moments par rapport au point 0 soient égaux en valeur absolue. Celle dernière condition peut s'exprimer d'une autre manière en disant que la somme algébrique des moments des forces P et A doit être nulle par rapport à un axe élevé au point 0 perpendiculairement au plan contenant les forces et le point fixe.

Ordinairement le levier est une barre droite, et les forces P et R sont parallèles. Alors la charge F du point fixe est égale à la somme (algébrique) des forces Pet R, et l'équilibre du levier se réduit à la composition des forces parallèles.

FOnCES IIOUVABTES, — FOIICES RÉSISTANTES.

2C5. Los machines ne sont pas deslinées en géiiérfll it équilibrer des forcer, mais bien à les vaincre, c'esl-à-iiireà déplacer leurs poinis d'application dans un sens opposé au bcns des actions propres de ces forces.

' Par exemple, lorsqu'on emploie une macliine pour soulevir un Tardcau, on se propose de faire parcourir à ce fardeau un chemin vertrcal, de bas en haut, c'est-à-dire en sens conlniiin (la sens dans lequel la pesanteur tend à l'entraîner. La ni ichinc n'est là qu'un intermédiaire entre la ri!sistajice à vaincre, qui est la pL-santeur, et la force qu'on emploie pour prodaire reffel voulu. Cette force est appelée puissance ou force mouvanle. Lorsqu'une machine est en mouvement, la puissance déplace son point d'application dans son sens propre, tandis que le point d'application de la résistance se déplace en sens contraire de sa direction. En d'autres termes, une force mouvante est celle qui a un travail élémentaire positif ou moteur, et une force résistante est celle dont le travail élémentaire est négatif ou résistant.

A l'état d'équilibre, lorsque la machine est en repos, il n'y a d'autres travaux à considérer que des travaux virtuels correspondants h des déplacements riclifs. La distinction enuc la puissance et la résistance est alors arbitraire. Dans l'exemple que nous venons de donner (g 20i),on pourrait appeler R la puissance, et P la résistance ; car un déplacement angulaire du levier de droite à gauche autour du point 0 justifierait ces désignations, en rendant positif le travail de la force A, et négatif le travail de la forceP. Le déplacement contraire justifie les désignalions dont nous nous sommes servis.

Mais, comme une machine est presque toujours destinée h vaincre une résistance bien définie, il n'y a pas d'indécision sur ie partage des forces qui y sont appliquées en forces mouvantes et forces résisfantes. Nous verrons de plus

408 ËQUIlinitE

que l'équilibre entre ces forces peut avoir lici le mouvement aussi bien qu'à l'état de repos, et qui/ en est toujours ainsi lorsque la machine possède un mouvemenS uniforme. L'è(u<lc des conditions d'équilibre des inailiines a donc de l'inléiûl. non-seulement au point de vue de la statique, mais encore au point de vue de hi dynamique.

Nous ne pouvons donner ici une démonslratioii rigoureuse de ce théorème ; reporlons-nous cependant aux principes posés dans riniroduclion (§ 3) : quand un point matériel dfecritunilormémeal une ligne droite, les forces qui agissent sur ce point se font équilibre, puisque son iiccèléralion est nulle; s'il dccrit uniformément une circonférence ou toute autre courbe, les forces qui agissent sur lui ont une résultante passant par le centre de courbure, et par suite normale à la Irajecloircpuisquesonaccéléraliontotalese réduit à raccclération centripète. Dans les deux cas, le travail élémentaire des forces appliquées au point matériel est nul it chaque instant. Or les mouvements des divers points matériels qui composent une machine s'effectuent presque loujours le long de Irajectoircs définies. Si donc les vitesses rcsieni constanles, la somme d«s travaux des forces appliquées à ces points se trouve identiquement nulle, et la condition générale de l'équilibre du système se trouve remplie.

Nous admettrons donc, sauf à y revenir plus lard, qu'on peut appliquer les équations de l'équilibre à une machine à l'état de mouvement uniforme, comme si cette machine était en repos. Cette extension ne s'applique rigoureusement qu'aux équations qui expriment les conditions de l'équilibre, et non à celles qui conduisent à la détermination de la réaction des points fixes, et des lemions des lietis, lesquelles peuvent élre très diflérenles suivant que la machine est en repos ou ea mouvement.

LCS TROIS CR.VnES DE LETIIltS.

[ SC6. On dislingue trois sortes de leviers suivant la position selalivc de la puissance, de la résistance et du point d'uppiii. F Le tetier du premier genre (fig. 242) est celui dans lequel le Ifraint d'appui 0 est situé entre la puissance P et la résistance li. s dcui forces agissent alors dans le même sens, et le point f appui subit une charge égale à leur somme.

rfu lecond genre {fig. 245) est celui dans lequel la ince R est située enire le point d'appui 0 et la puissance P. Alors la résistance est plus grande que la puissance; elles sont d'ailleurs dirigées en sen.s contraires, et la cliarge de Titppui est égale à leur dilTé- < rencc.

Le Uvier du troisième genre est celui dans lequel (fig. 244) la puissance P est située entre la résistance R et le point d'appui 0. 11 faut pour l'équilibre de ce levier que la puissance soit plus grande que la résistance, et dirigée on sens contraire ; le point d'appui a une charge dirigée dans le sens de la puissance et égale à P — R.

Le levier du troisième genre est peu usité, parce qu'il exige [l'emploi d'une puissance P plus grande que la résistance R

FigîM.

Ji'^

Fig. W5.

410 TRWÂlL

qu'on veut vaincre ^ Les machines ont plutôt pour but d'employer des forces moindres à vaincre des forces plus grandes; un levier, par exemple, doit permettre à un homme de soii> ^, ^ lever un poids qui excède h

^"^Z ■^.^ ^ limite de relTort dont cet

homme est capable. Le levier du troisième genre serait i cet égard sans utilité.

267. Soit AB (fig. 245) iii levier du premier genre, dans lequel la distance OB soit un centième de la distance OÂ; on aura pour l'équilibre des forces P et R Téquation

p X OA = R X OB,

ou bien i

c'est-à-dire qu'avec une force P on pourra faire équilibre è une force 100 fois plus grande. Au lieu de tenir simplement j en équilibre la force R, admettons qu'on déplace son point :jj d'application, B, d'une certaine quantité très petite, BB',eii ;^ sens contraire de la direolion de celte force; c'est là, noos le savons, ce qu'on se propose dans toute machine en mouvement. En môme temps que le point B porcourt Tare BB', le point A se déplace d'une quantité AA' cent fois plus grande; le travail moteur ou positif, PxAA', est égal au travail de la résistance, RxBB', pris en valeur absolue. Si donc la machine permet de réduire la force P ao centième de la force R, elle exige par contre que le point d'application de la force P reçoive un déplacement 100 fois plus grand que le déplacement du point d'application de la force R, de sorte que la réduction de l'effort moteur est rachetée par une augmentation du chemin que son point d'application doit décrire.

* Au point de vue de la statique, il n'y a pas de différence entre les deux derniers genres de leviers.

DIS roltCLS. lit

ions que l'intervenlion du levier se résume dnns la division de la force R en un certain nombre, 100, de parties égales. Supposons qu'un molcur, un manœuvre par exemple. Mit capable de di^velopper sans Hiligue un ellbri constant bjfl.1 8U centième de la force R. Si la force It est effectivement dAcomposable en !00 forces égales, si par exemple celte force esl le poids d'un système matériel homogène qu'on puisse parlager elTeclivernent en 100 morceaux d'égal volume, le manœuvre, une fois ce partage accompli, pourra prendre le pre-

'flûer morceau, qui pèse jrr-y , et le déplacer verticalement de

la quantité liB', sans excéder la limite de ses efforts ; celn fait, il passera au second, au troisième, auqualrièmc..., et ainsi de tDÏIe jusqu'au centième. Il aura ainsi, partie par partie, •.elleclué le transport du système entier. Mais, au point do ^e des elTorts développés et du travail accompli, le déplacehnMit vertical I)B' du second morceau, du troisième..., du eenli£nie, équivaut nu transport vertical BB' du premier. Le travail du manœuvre équivaut donc au transport vertical

4*110 morceau unique, du poids de jtt-t, k une hauteur é(;ale

h iOO fois BB'. Or c'est précisément ce qu'il fait d'un seul coup, au moyen du levier, sans diuïion préalable de la charge.

Car il applique au point A un effort P égal à jrrw , et fait décrire 0 ce point un cliemin AA', égal à 100 fois BB'. Son (ratai/ dépense PxAA' est donc égal au travail produit,\i>z\iK' . On voit par laquelle est l'erreur de ceux qui vantent lapui^- $eace du Uvier, comme si un levier avuil par lui-même une pDÏssance. Le levier n'agit sur une résistance que quand une force mouvante lui est appliquée. Il permet d'équilibrer cette résistance avec une force moindre; mais, à l'état de mouvement, les chemins décrits par les points d'application [ des deux forces, estimés suivant leurs directions respect lïves, sont inversement proportionnels aux forces ellest mêmes, le travail de la force mouvante est égal au travail de

la force réaistanle, et ea ddUtnele lerier trsnsibrine 1é1 TÛl sans en créer. D en est de wéau àe toutes les oiachiiM . Nous dèvelopperoBs plus tard eeepreniers aper^s.

La théorie du levier, dam le cas des Turces parallèles, conone d'Aicbimède, et a longtemps serri de base à Vaaà statique. Elle offrait cependant une leoine : les mètres admettaient qae la charge dn point 6xe esti somme de la puissance et de la résistance, mais ils mï pas le démontrer ; cette pn^osition était pour eux de postulatum révélé per l'expérienee, et qu'ils n'ai-aieot encore pu rattacher an princîpea généraux de la Mécanit

368. Deux personnes d'inégale fiim portent ka m d'ure barre horiiontale AB, ea un point C de I est attaché nu fardeau dep En qnd point de la bairej dou ddt-il être suspends f I' que la pwsonne qui porte M " mité B n'ait à exercer que le f de Teffort exercé par la perawMl qui porte l'eilrémilé A?

On peut regarder la barre ill comme un levier du second p "*' dans lequel le poids P est U ri

lance, le point A le point d'appui, et l'elTort X exenittl de bas en haut la puissance.

XxA&sPxAC;

L'elTort Y, exercé en A, est égal et contraire h hv P — X de l'appui A, c'est-à-dire ^ '^ '* >< î|i-