Cherchons les réactions des appuis 0 et O
l/équilibre ayant lieu, nous pouvons, sans le trouUer, regarder la portion DE de la corde comme fixée invariablement à la surface du cylindre; la tension de la corde 6C est é^ale au poids Q ; nous pouvons donc regarder la force Q comme appliquée en B au système invariable formé parie treuil.
Dans le plan normal à Taxe 00' conduit par la droite BC, appliquons à Taxe, Tune en sens contraire de l'autre, deux lorces égales et parallèles à la force Q. Nous pouvons substilu<T, sans îillérer Téquilibre, à la force Q appliquée eiiC, h foire OapplKjuiM' à l'axe, et le couple (Q, — Qj, dont le moment est égal à Qxob.
Di* nuMiie, dans le plan de la roue, transportons la force P Haiallèlerncnl à elle-même, ce qui nous donnera, à b place (le la loree P appliquée en (/, la force P appliquée en un |»oinl d<' l'axe, et le couple (P, — P), dont le moment est V xua.
Les (l<'ux couples se faisant équilibre, il reste à considérer les forces, qui sont équilibrées par les réactions des tourillons 0, 0'.
Pour trouver C(îs réactions, décomposons la force Q, verticale el appliquée à Taxe dans la section BE, en deux foras 0' et 0'', parallèles, appliquées au centie des sections moyennes des tourillons 0, 0'. La force (J', appliquée en 0, sera égale
OB
quée à Taxe dans le plan âe la roue, par deux Torces paial- BêlesP' et I", appliquées l'une en O, l'aulre en 0', et égales ' 0' F 0 F
icspeclWemenl à P x tttt, et P x jwy Composant ensuite
les forces Q" et I", appliquées en 0, nous aurons pnur résultante la pression R oxerct^e par le louril!on 0 sur son cous- SÏD<;I, el, de raéme, la composilion des forces Q" et P", appliquées en 0', nous donnera la pression R', exercée sur lecouslinel O*. Les forces R et R' ne sont pas parallèles, mais elles BOnt toutes deux normales à l'axe du cylindre.
272. On voit qu'avec une force P donnée on peut faire équilibre a un poids Q aussi grand qu'on voudra, en se servant d'un treuil dans lequel le rajon ob du cylindre serait BofBsauimeut petit par rapport au rayon de la roue oa. Pour le treuil comme pour le levier et comme pour toutes les ras- Cbïnes, les déplaremenis des points d'applic;(lion des forces P el Q qui se font équilibre, sont en raison inverse de ces |6rcGs elles-mêmes, de sorte que, pour élever d'une pelile quantité le poids Q en employant une force P, il faudra faire parcourir au point d'application a de celle force un chemin d'autant plus grand que la force P est plus petite. Le rôle du Ircuil, comme celui du levier, équivaut à la division du poids 0 en parties dont chacune puisse être déplacée par la force tnouvante P.
273. Le treuil différentiel (iig. 249), dont nous avons donné la description dans la cinématique (I, g 295) permet d'équilibrer un poids Q avec une petite force P, sans réduire le diamètre du cjlindrc, et sans diminuer la solidité de l'appareil. Le cylindre est double; la corde porte le poids Q par Finlermédiaue d'une poulie M ; les brins cb, c'b' sont parallèles, et leur tension commune est égale à la moitié du poids Q. Quand le brin cb s'enroule sur le cylindre de rayon Ob,
u. — ait. couwNOKi S7
4ft touiuni
If* brin V^ se déroule da CYlindre de ravon Ob'. Tour un angle très petit, ix^ dont on fait tourner la roue et les cylindre5« le poids Q s^élère de la moitié de la diiïércDce
06 X rfa — Ofr'x à% entre h longueur de corde enroulée et la longueur déroulée.
Le travail résistant est donc ^al en valeur absolue à f
5QX ,06Xcla — O^'Xrfa) = ^QX</>X(Oè — O»0.
L*équation d'équilibre est ou bien
|QX(0*— 061=:PxO».
Fz. il».
Tout se passe comme si Tofl employait un treuil dont la roue .iunil le même rayon 00, mais dont le cylindre aurait pour .: am/'ie \\ différence hV des rayons des deux cylindres.
Li ro l.orc*io des pressions sur les tourillons peut se faire \^x\^ lut-lhoilo que nous avons suivie pour le treuil simple.
y}\\ iciuarqutra «jne les deux tensions ^, appliquées d'aLord
K^w ^ il en h\ <o transportent parallèlement à elles-mt^nies ;u\ points tio Taxe on se projettent les points i et ft';puis t:;i ••!! [H ni hs composer en une seule, égale à 0. appliquée a 1 axe, an milieu de rinlervalle compris entre les deui <0i lions droites où se font Tenroulement et le déroulement dn til.
EQL'UTnnE nu TREIIIL en TENINT COSIPTE mtFROTTEMrST.
274. Revenons au treuil ordinaire, et cherchons les condilions d'équilibre en tenant compte du fiotlemcnt des tourillons sur leurs paliers. Si le treuil est h l'état de repos, il sufGl que la résultante des Turces qui pressent le tourillon sur la surface de glissement, fasse avec la normale à cette surfsce un angle moindre que l'amile ilu frottement. l.a solulion est donnée alors par une inégiililé, ce qui permet de faire varier les forces estérreures entre certaines limites sans troubler l'équilibre. Pour rendre le probléine déterminé, on peut supposer que le Ircuii, tout en restant encore en repos, estsui' le point de prendre nn mouvement souk l'nclion «les forces qui le sollicitent, hypothèse qui revienl h admettre que la résul- Uate de ces forces fait avec la normale a la surface de glissement un angle égal à Yangle <lu frollement au départ. On pourrait aussi supposer que le treuil est animé autour de son axe d'un mouvement uniforme; dans ce cas les forces extérieures se lont équilibre comme si le système était en repos, el de plus le frottement est égal à sa limite, puisque le glissement des corps en contact a effictivoment lieu; la résultante des forces exlérieurcs fait par conséquent avec la normale aux surfaces frottanles un angle égal à l'amjle du frottement pnidanllemouvement. Maison ne peut pasalfirmerd'avauec que Vélal de mouvement n'altère pas les réactions ùps points lixes, el nous aurions besoin de connaître ces réactions, pour en déduire les frottements qui doivent être introduits dans l'équation d'équilibre. Supposions donc simplement que le mouvement est sur le point de naître dans un sens déterminé.
Soit OA (lig. 250) le rayon de la roue, t,ingi'nliellt;menl à laquelle est appliquée la force P ;
(lit, le rayon du cylindre, tan;^tïnliellement auquel est suspendu le poids Q;
OC, le rayon du tourillon, qui touche au point G la surface MN du palier.
Le mouvement du treuil se faisant ou allant se faire dans
le sens de la puissance, on peut supposer que la roue tourne dans le sens de la flèche; le frottement subi par le treuil est dirigé en sens contraire ; c'est donc une force F, appliquée au point G, tangentiellement à la circonférence du tourillon.
Outre celte action tangentielle, la surface d*appui MN exerce sur ^^^' "" le tourillon une action normale S ;
et il résulte de notre hypothèse que nous avons la relation
en désignant par /*le coefficient du frottement.
Sur l'autre tourillon, nous aurons de même à considérer une réaction normale S\ et une réaction langentielle ou frottement, F', égale à S'/*.
Il y a donc équilibre entre les forces P, Q, et les forces inconnues, S, S', et V = Sf^ F' = S'/'.
Prenons les moments par rapport à Taxe projeté en 0; il viendra Téquation
(1) p X OA = Q X OB + (F -f- F') X oc = Q X OB -+- (S -f S') X /"X OC,
équation où entre la somme inconnue S H- S'.
Pour déterminer séparément S et S', et pour trouver la condition d'équilibre entre les forces P et Q, nous procéderons comme nous Tavons fait dans le g 271 : nous substituerons aux forces P et Q des couples P x OA, Q x OB, et deux forces parallèles P' et P', Q' et Q", appliquées à l'axe 0, dans les plans moyens des tourillons. Nous pouvons de mêm^ substituer aux forces F et F' des couples FxOC, F'xOC^ en transportant ces forces parallèlement à elles-mêmes en desi points de l'axe 0.
DU TItEUIL. tH
Nous obtenons par là, ilons des plans parallèles, 4 couples qui se font équilibre en vertu de l'équation des moments (I), et deux groupes de quatre forces, savoir les forces
p-, 0-, s et ¥, appliquées au centre du premier tourillon, et les forces
p', Q', S' CE F'.
appliquées au centre du second : ces huit forces se (ont donc aussi équilibre.
Je dis de plus que chaque groupe considéré séparément est en équilibre. S'il en était autrement, les quatre forces V, Q', S et F, qui sont appliquées en un môme point 0, auraient une résultante, qui devrait faire équilibre à la résultante des quatre autres farces P", Q", S' et F, appliquées aussi à un même point. Or cula est impossible, car les quaire premières forces sont situées dans un plan normal à l'axe du treuil, et leur résultante, située dans ce plan, ne peut filre £gale cl opposée ù la résultante des quatre forces du second groupe situées dans un plan parallèle. Donc enfin la résultante des forces S et F est égale et opposée à la résullanlc des forces P et Q', et de mûme la résultante des forces S' et F' est égale et opposée h la résultante des forces P' et Q'.
La résultante des forces S et F, qui sont rectangulaires cl liées entre elles par la relalion i' = Sf, est égale à V^S* + F' = SVr+7'". De même la résultante de S' et F' est S'\/i+p. La résultante des forces P' et Q' peut s'exprimer par le radical
\/l^ + 0''-*-aP'ti'coajI-,Q'),
et de même la résultante de P" et Q" par le radical
i.^l<"Q-'cai[l";(i"].
Or a donc les deui équations :
S\li+f* = VF-» -I- Q" + ap'll'a»(l", Q'),
8* VJ +/• = ^l-' + Q" -H 31"^"ai
H iiibrrdîunt dans réquatioQ M) les \aleurs de S et S', il
In^:s «tie «fÇTraLvD. OA, OB, OC sont coonos : la force Q est :*.:iiii ne tr. zTkTjitis H en direction; on en déduit Q' et Q*. La -Â^:l^ F if<c iz»:>:4m>e tn grandeur, mais elle est connue ea tnczinfi . ei> &dt dans le plan de b roue du treuil, et, si ta J :«^xc.:t.f!<: en deux force> P et P*, situées dans les plans ii*?^ieft5 ie^ t.uriljoiks, on connaîtra les rapports des compo- >LLi:5 1 il i:-o:e ^y^Ie. Lts furces P et P* peuvent donc s'exprinttr T-or ùe< prj^uits de la fvrme f-^ P/, où les coelBcieots il ec s. <«.yu o:<i:iu^ d'aprc:s les dimensions de la machine. Eofifl jts iix:ik< r. V a P*. C» sont aossi connus. L'équation (3) itf cuaii^fct plo^ qu'une inconnue P, et peut senrir à en d^
r-jor v?Lâ. fe mien est de procéder par approximations Koc«^i:->. vc L^fcl^era d'^abord le terme contenant les no.j-A. ;-i e>t Bu.tipliê par un nombre f toujours :t; .. >i .1 iLj-.':. iirf est en bon état d entretien. Cette hj^o-
;*•.>■ :' ri ,:zjliL re uce valeur de P êpaîe à OXt^.;cVsI
^ ^j".:. r ■ i.î'.'.t ç-'f r:n trouve quand on suppose le frotte 211 ' : • ; :rt:T-i':r? \jileur de P sert à calculer des va-
.•:..'> if r .: :" :'-\ 5ur<5ti:uêt:s dans les radicaux, en don- •vc : .:". ::•::..-:•. \ » If ur approchée. L'équaiion r2) conduit :. r > . •: .■ >:>:or i:? valeur de P, qui sert à encalculerune :•. - .:- \ <: 1 :c pe^jt pvjsser ce calcul aussi loin qu'on le
^ï'V. ..: rxrfàtVXiTÎ-.^!* Dr GÉNÉRAL P05CELET.
i**v l\v*.:iî: n .:î , cecaiTêe de ses radicaux, serait duqua- ::•..:■.•.: .::v:"' ^'"'^- ^- S^-^'^^l Poncelela indiqué une méthode
MÉTHODE BE l'ONCELET. 4Î3
[Hi permet d'y substituer une é(|uation du premier degri^, avec une approximation définie.
Celte mélliode ropose sur la détermination la plus convenable possible des deux coeriicienls constants M el N, pour que la Fonclion linéaire
puisse ëlre substituée, dans un intervalle donné, au radical ■carré i^x'-t-if.
Les radicaux de l'équation (2) sont de la forme
^/X' + X' + iWco^O:
maison peut les ramener à la forme v'x' + yS en posant
X + ïcos8 = z
Nous supposerons qu'on demande de déterminer M et N de manière que, pour toutes valeurs du rapport " comprises
Bel un nombre positif X donné, l'erreur relative moindre possible en valeur absolue.
Faisons -^u, et divisons par x les deux termes de la fraction. Elle est ramenée par là à la forme
... M + Nu-vT+lJi
vTTnî ■ Pour 11 = 0, elle prend la valeur V=:M — i.
Elle s'annule pour deux valeurs u' et ii', satisfaisant à l'équation du second degré
■;S + N«)« = !+!(», ou bien
(S«-l)«>-f3JINH-|-(ll' — 11 = 0.
Pour que les deux racines de cette équation soient positives,
il faut el il sufBt que ^, . soit posilif, el que ^
wil négatif; oo satisfait k telle double condition en fût III et N de laérae signe, et moindres que PuBité en » * loluc. S'il en esl ainsi, w' et u' sont des nombres p
s supposiivins iitféiieiirs tous deux à la limiti
Nous prendrous donc M et N po^iîfs, ce qui donnera a
valeurs positives pour M + Nu.
Pour u = X, on a
-vT+ii
Au delà de celte limite, pour u iafinimcnl grand, Td verge (crs la valeur N— 1.
On voit donc que, pour 11 = 0, V est négatif, qu'il pass pûsitirpouru = K', puis qu'il redevient nul pour u=ifM qu'à partir de là il reste né^'alir indéfiniment. La courtier valeun de V pressente la forme ABEDG indiquée sur la i où l'on suK«)se OB=s', OV — ti', el OF=X.
Cette courbe a un maiimuni en un certain p l'abscisse J = OC est comprise entre les abs 0D = "'- ro'"""" déleniirntT '
DE PONGGLET. 425
N de «. Le numérateur s'annule pour la seule valeur u = w ,
valeur positive, qui correspond à un point C, compris entre les deux racines. La fonction V prend alors la valeur
Au-dessous de la valeur », la dérivée est positive; audessus, elle devient négative, et reste négative jusqu'à u =: oo , valeur qui la rend nulle; donc la fonction Y est croissante du point A au point E, et décroissante du point E au point G.
La meilleure détermination des inconnues M et N consiste à diminuer le plus possible en valeur absolue Tordonnée V de la courbe AEG, ce qui revient à rendre les moindres possible les valeurs limites OA, EC, et FG de ces ordonnées ; ces valeurs, prises po3itivement, sont respectivement égales à
et
