PLAN INCLINÉ
Fig. 2G0.
281. Nous avons déjà traité la question de l'équilibre d'un corps solide placé sur un plan fixe (g 91). Ici nous ferons l'application de cette théorie à un corps pesant posé sur un plan incliné, et nous chercherons quelle force il faut appliquer à ce corps pour qu'il soit en équilibre. On peut traiter ce
pniblème à deux points de vue :
en négligeant le frottement, ou en en tenant compte.
Supposons d'abord qu'il n'y ait aucun frottement.
Soit AB la ligne de plus grande pente du plan, qui fait avec Thorizon Ail un angle donné BAH.
Le corps solide MN repose sur le plan par une face plane ; il a un poids Q , appliqué en son centre de gravité, G.
On demande quelle nouvelle force il faut lui appliquer pour qu'il soit en équilibre.
La résultante des actions élémentaires exercées par le plan sur le corps est une force R, normale au plan, puisqu'on suppose le frottement nul ; cette force R rencontre la verticale GQ en un certain point I, où Ton peut considérer les forces Q et R comme appliquées. De ces deux forces, toutes deux connues en direction, l'une, Q, est en outre donnée de grandeur, Tautre, R, est encore inconnue. Le plan RIQ coïncide avec le plan de la ligure.
La force à appliquer au système pour compléter l'équilibre est une force P, appliquée au point I, et dont la direction et la grandeur sont également inconnues. Pour déterminer les inconnues, par le point I menons dans le plan de la figure deux axes rectangulaires, Ix, ly, Tun, Ix, normal au plan, Tautre, ly, parallèle. Décomposons suivant ces axes la force
SDR LE PL4> ISCUSÉ. «7
inconnue P en deux composanles que nous appellerons X et Y; décomposons ilc miltme la force Q en deux coni posantes, C'elO"-
Les Irois forces P, Q, R, se faisant équilibre, la somme algébrique de leurs projections sur une droite quelconque csl Dullc ; donc
La première équation fait connaiire la composante Y; la seconde fait connaître la somme des deux inconnues X -l-ïi : l'une d'elles reste donc arbitraire.
Si l'on veut trouver la moindre valeur possible pour la force P, il faut faire X :=: 0, car on a l'équalion
dans laquelle Y est égale a une force donnée Q": elle mnnirc que le minimum de P correspond ii la „ ^
moindre valeur de X, ou à X ^ 0. Dans ce cas, !\^Q'.
On équilibrera donc le poids Q avec une force P, parallèle au plan incliné, et dirigée de bas en liaul, suivant la ligne de plus grjnde pente; celle force sera égale à la projection IQ" *'*^ ^'
du poids 0 sur la ligne de plus grande pente, c'est-à-dire égale, à cause delà similitude des triangles IQQ", ABU, au produit
ds poids Q par le rapport p^ de la hauteur, DU, du plan incliné à sa longueur, A6.
Si l'on appelle a. l'angle BAll du plan avec l'horizon, on lura
el Q sin a sera la pression subie par le plan .
S8'2. Reprenons le même problème en tenant compte du frottement; pour que la question soit déterminée, il faut supposer que le glissement du corps sur le plan est sur le
point de se produire dans un sens défini, ou mftme qu'il se produit réellement, le corps éiant animé d*un mouvement uniforme le long de la ligne de plus grande pente AB.
On Terra en dynamique que l'état de mouvement recliUgne
ot uniforme du corps le long du plan incliné ne change rien i
la pression mutuelle exercée entre les deux corps en contact.
Admettons que le corps glisse ou va glisser de A vers B,
c'est-à-dire en montant. Le rroltemcnt exercé par le plan sur
le corps est alors une force F, |)arallèle au plan et dirigée dans le sens BA. La résultante des actions du plan sur le corps est donc dirigée suivant une droite IR, faisant avec la normale B, dans le plan de la figure, un angle RIS égal à Tangle du frot* tement. Cette réaction totale R se décompose en deux forces, une force normale S, et une force F, qui est le frotteinenl.
Menons encore les axes Ijt, \y ; décomposons le poids Q sui- \ant ces doux directions, ce qui nous donnera les forces Q' ,^l 0'- décomposons de même la force inconnue P. Nous cuirons pour Téquilibre les deux équations :
A ces deux équations il faut ajouter la relation entre F et S :
/étant le coofllcient du froltemenl.
Il V a trois équations pour dclermincr quatre inconnues \, Y, S et F. I/une dos quatre inconnues est donc arbitraire, ol 1 on i>out imposer au problème une nouvelle condition; nous cliorcliorons, par exemple, à rendre la lorce P la plus
petite possible.
Lo pivblome se résout géométriquement d'une manière très
Stm LE ['LAN INCLINE. 439
simple. I« poids Q et les forces P cl R se f;iïsant équilibre au point I. Q est la résullanfe de deux Torces 11^, IR', égales et opposiîes aux Torces P et R ; la droite IQ est donc la diagonale du parallùlogramme IRTQ' construit sur ces deux forces. Dans ce paraUclogramme, le cMi lit' a une direction connue ; la forco P est représentée en grandeur par la droite OR', qui joint le point donné Q au point R', exlréniité de la droite IR'. La moindre valeur de la force P correspond au minimum de QR', ou à la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite IR', c'est-à-diic, le minimum cherché a lieu quand on donne à la puissance P une direction perpendiculaire à la droite IR, ou enfin une direction faisant avec la ligne de plus grande pcnlc AB un angle PIV égal â l'angle du frollemcnt.
La solution algébrique du problème s'achèvera donc en posant
W x=tf.
Des équations (1 ), {2), (3) et (4). on tire
^ft a r(
a représente l'inclinaison BAH du plan sur l'horizon, el ? l'angle du frottement, on aura
0'=Qco3a, /■=laiigï,
et les formules deviennent
m tonuBu
Rfmcr^e. — Nous avons supposé que le corps glissail m ■lonUnl. S'il ^lissaîl en de&ceii*^nl, il n'y aurait qu'à diuger Il dîrccUoQ du (rotluracnl F, ce qui revient â mener ta droile lit de l'autre cùlè de la no^ malelS.
I,es Formules |5) convicnDesl encore, pourvu qu'on change e im — ^ cl qu'on allribue des signei aux forces F, X el T. Deux ca doivcol ^Ire distingués.
{* Si le prolongement de la mticale IQ giasse dans l'angle SIR ~ (fig. 463), OH aura les équattons
«uivanles, en prenant postliveoienl les Torccs F, V et £ :
le minimum de P correspondra à la dircriion normale i TR. ou à la condition X^V/. La force P ti-nd ù \a fois à enlraliwr le corps le long de la ligne de plus grande pente, et à le détacher du pkn.
On déduit de ces quatre équalîons :
Q-, Q-ctZ-parl
= Ocoj[v — «ICUSf,
= Qco«(f — .;»iiif.
= QmiH!: — «)eMf,
= Q*inlr— liiiifc
suit LE PLAN INCLINE. 411
el ces formules donnent pour Y et X des valeurs positives, puisque % est supposé <;? ■
2* Si, au contraire (fig. 264), la verticale IQ prolongée est en dehors de l'angle SIR, on aura les équations
Le minimum de P correspond une direction IP normale à IH, ou
Ce cas correspond à a > 9 .
La force P tend ici à retenir le corps et h l'appuyer contre le plan.
5° Enlin, il y a un cas înicrmédiaire où le poids Q est en prolongement de la réaction U ; la force P est alors nulle, et le corps glisse d'un mouvement uniforme le long du plan incliné : rinclinaison du plan sur l'horizon est égale à l'angle du frottement.
Les formules (5) comprennent tous ces cas particuliers, dès qu'on a égard aux signes des forces et de Tangle f.
An ÉQUILIBRE
283. Application aux traîneaux. — On emploie dans certains pays, pour effectuer les transports sur la neige, des traîneaux MN, glissant sur le sol AB (Gg. 265). Le cheval qui mène le
Fig. «05.
traîneau est attelé à un brancard incliné OA, articulé en un point 0, au milieu à peu près de la portée du patin ; d'après ce qui vient d'être démontré, Tinclinaison la plus avantageuse à donner au brancard et aux traits par rapport à la ligne AB est Tangle du frottement. C*est dans celte direclion que le cheval dépensera la moindre force en agissant sur le traîneau, soit pour lui faire gravir une rampe (§ 282), soit pour lui faire descendre une pente peu inclinée (g 282, Rem. l"*), soit pour le retenir sur une pente forte (§282, Rem. 2^). La réaction étant égale et contraire à l'action, le cheval est sollicité obliquement par le brancard ou les trails, suivant qu'il tire ou qu*il relient. Cette force oblique se décompose en deux forces. L'une, horizontale, s'exerce sur le poitrail, par l'intermédiaire du collier, quand le cheval tire; sur Tarriôre-train, par l'intermédiaire du reculoirj quand le cheval relient : dans les deux cas, celte force horizontale est équilibrée par le frottement développé au contact des pieds du cheval avec le sol. L'autre force, verticale, s'exerce tantôt de haut en bas, tantôt de bas en haut ; dans le premier cas, elle appuie la sellette du cheval sur son dos et se transmet de là par les jambes jusqu'au sol ; dans le second cas, elle tend à soulever le cheval au moyen de la sous-ventrière, et est contre-balancée par le poids de l'animal. C'est ce qui arrive toutes les fois que le cheval descend une côte où il est forcé de retenir.
Si le frottement du traîneau sur le sol est très faible, Tincli-
SIlEl LE PUS INCIJNE.
naison du lirancard doit être ellc-môme Irèspclîle; ce qui conduit a relever le point d'allactic, 0, du brancard.
TRIVAIL DU FTIOTTEllE.NT SDH LE PLAN INCLIKÉ.
'îii. Itepreiions la question gém^ialc traitée aug282. Dans tous les cas que nous avons examinés, il y a équilibre entre ks trois Torces P, Q ctB, et par suite la sonimealgébriquedes travaux de ces Torccs, pour un déplacement Élémentaire quel- «Daque, est égaie à zéro. Prenons poui- déplacement élcmentiirc le glissement que subit effeclivemenl le corps le long de la ligne de plus grande pente du plan incliné, quand il est animé le long de celte ligne d'un moulemenl unirormc. La somme algébrii|ue des travaux des trois forces qui forrcâpondent au déplacement 11' est ioac nulle. Examinons d'abord le cas Mlle corps monte(lig. 266). Le travail (le la puissance V est égal au produit dudépla'cmenl ll'par lacomposnnlcY ""'s *"'■
pirellèle au cliemin, ou à Y xH'. Le travail delà réaction It etldemcnieëgatau produit négatif — F X 11'. Enfin le travail it b pesanteur est égal au produit négatif — Qxl'i'. du poids Q |>3r la quantité dont s'est élevé le centre de gravité du Corps mobile. On a donc l'équation
vxii' — FkU'— oxn' = o.
^i le utips di;&c;»id tf-'i,. 267), on a l'équalioa
ï X H'— F X II' T (J X n* = 0
qmnil la force P est mouvante, et l'équation
— ïxll'— Fxll'+Qxl'r=0
•pnnd la force P est employée à ri'ljnirle corps. Dans ces trois «lualions, le travail du frottetneiit est négatil paicc que te
AU ËQUIUBRE
frottement est une résistance au glissement du corps ; le tnvail de la pesanteur est positif si le corps descend, négatif sll
monte; le travail de la force P est positif ou négatif, suivant que cette force est dirigée dans le sens du mouvemenl ou en sens contraire.
Faisons II' =ds; nous aurons
^^ Substituons dans la première équatioa
Fig. Î67. Ycs valeurs des déplacements et des
forces Y, F et Q, données par les équations (5); il viendra pour l'équation du travail, en supprimant les facteurs communs Q et ds,
sin (a -H f ) C08f — C08 (a + 9] sin ^ — sin ee = 0.
Cette équation doit être une identité. En effet, elle exprime simplement que Tare a est la différence des deux arcss-f 9 et 9. Les équations relatives aux deux autres cas rentrent dam la première, en ayant égard aux signes des forces T et F, et de
Tangle ç.
285. Le cheval qui mène un traîneau le long d'une route, avec une vile^se constante, exerce sur ce traîneau un force P, dont la composante Y produit seule un travail ; l'autre composante, X, est perpendiculaire au chemin décrit, et son travail est constamment nul. Le cheval se trouve à l'égard de cette composante dans la situation d'un support chargé du poiiis X.
Le travail du cheval dû à la composante Y se partage ensuite en deux parties : l'une qui correspond au travail de la pesanteur, et l'autre au travail du frottement. Si la roule que le traîneau parcourt est horizontale, le travail développé par le cheval est entièrement absorbé par le frottement.
Remarquons, en passant, que la force X, bien qu'elle ne produise pas de travail, contribue aussi bien que la force Yà Jatiguer le cheval, et qu'il y a lieu de réduire cette charge audessous d'une certaine limite, pour laisser à l'animal la libcrié
Sun LE PLAN INCLINE. 4tt
développer dans du bonnes conditions Veffort utile Y qu'on lui demande. Théoriquemcnl, on pounait réduire à léro le travail à lournir sur une roule horizontale, en plai;ant sur le dos du cheval la lolalllé du fardeau à transporter; car celle disposition rendraitnulle la composante Y; mais elle augmenlerait la force X et imposerait au cheval une charge qui pourrail cïcêder ses forces.
En d'autres termes, le cheval, considéré comme béte de sommé, ne peut transporter qu'une faible fraction du poids qu'il traînerait surune bonne route, sur laquelle le coefticient de frottement est petit.
fQUILIBRE DU COtM.
J 286. Le coin est un prisme triangulaire, ABC, qu'une force 2 P eoronce entre deux corps E et F, qu'il s'agit de séparer.
' On demande la condilion dV^quilibre j* entre la puissance P, et les réactions " que les corps E et F exercent sur les laces latérales AC, BC, du coin.
Généralement la section droite ABC du coin est un triangle isoscéle, et les. corps Eet F sont de même nature.
Nous adoplerons ces hypothèses, ijui «iniplifient le problème. y ^^^
La force P est appliquée dans le idan moyen CD du prisme, perpendiculairement à la face AB. Cherchons les conditions d'équilibre au moment oii le glissement du coin va se produire sur les corps voisins. Alors la réaction du corps F sur le coin sera une force B, dont on peut assigner la direction : elle fait avec la perpendiculaire Gll à la face BC, dans le sens opposé au mouvement, un angle IIGR égal à l'angle f du frottement. Le frottement étant le marne sur la face AC, la réaction R' sur celle face fait dans le même sens, avec la normaleLI au plan AC, un angle égal
;ftT.teBecnaBltpa9
»,<|M ae wat eo r^lilé qae les résuiUinles des aclion» t développa sa contact d«s ciirps rroltanU, • S*. Toal ce qu'on sait, c'est que la n^ullonle sHelfl' estr^ale el contraire à la force i'. l» I donc par uo miîine poini 0 . ri pHr suild, t 4les Torccs R et IV en prenant sur Ib ABC, direrlion de la forcL- doniirt P, ud 1. CM nenani par ce point deui dratles 01^ ■ Sfcc le» bœs AC, BC, ées ongles égaui k 90' -;, * b fixte P, tnnsportte au point 0, suinri ,Wfir«rti«osOG.OL.
PoarqueleproblènewilpoMrble, il fautetil iuRil^iierjoj|^90* — 7 Mit plus !tnnil(}ue(amoitiéde t'angle C,3usohi-
éa tratail virlue) fait coitnajtre lo rapport d»
BaiCBiii ABC on déplacement DD* infinimeolpc- ! en A'B'C (6g. 26S|. Nous pouvons sàmettn I E reste fite, ri que le coq» F subit seul le dépUil dd à renfonremenl du coin. IVcomposoiis les foiTCsll et R* eo deux compoâanrrs, l'une nornale à la face du coio, , l'antre ïitiice dans celle face; /'étanl
le coeflicieni du Jroltement , la composanle normale de R el de H' stTJ R ysJËî — , ~ï=^,ellacoinposanlelangenlieile,
J\'. ff 1* point L se transporlc
^./ en L', par suile du dèptacemeni Ju
*" ■ coin, à une distance {.V =k.k' àm
"•* "* position primitive. Le point G se Iranv
porte en G', 1 une pareille dislance ; mais nous pouToos lii" conipuàcrle cbemio (^C en deux cbemins G'G*, C'C', l'un normal, l'aulre parallèle à k foce BC du cun.
