AU ROULEMENT. «I
l'espace di^crit dans le même temps jiar le madrier sera ^<h, et le travail moteur sera
Si le fardeau P avait glissé sur le sol, le coetlieient du fro!lemeiit rtunl /', le travail à dépenser eût été SP/ds.
L'emploi des rouleaux a donc réduit le travail à produire
dans le rapport de à 2/", ou de -^jr;- à l'uiiilé ; ce nombre est très petit, puisque o-elfl-. sont de très petites frac-
lions, beaucoup moindres que le cocrficicnt de frottement /.
Les forces F, F,, N, N,... varient avec la distancex. On peut vérifier que F, F,... sotil respectivement inférieurs aux produits pi, ^,Np-.- de sorte que les frottements des rouleaux sur le ai>l ou sous le madrier sont inférieurs à leurs valeurs limites; c'est pour cela qu'il y a roulement, et non glissement des solides en contact.
31 1 . La solution géométrique du problème es! facile, quand OD s'en lieut au même degré d'approximation, c'est-à-dire quand on néglige le poids p des
rr
rouleaux. La résultante des n» f^^\
Forces \ et F, fait équilibre U|3 "—-U^:^ sur le premier rouleau à la /^ \l ^ i \: rÉsullanle des forces N et F, par suite leur direction commune est la droite a^. De mftme ta direction commune
des réactions totales aux points a' et ^' sur le second rouleau csl la droite a.'^'. Ces deux droites sont parallèles.
La résultante S des forces P et Q appliquées au madrier est tenue en équilibre par les deux réactions parallêlus R et IV des rouleaux, appliquées en p et ^', dans le ptolougemenl des droites g^, 3.'^'. Donc S est parallèle à R et à R'.
Il faut pour l'équilibre que IS soit parallèle à «3; or Fin-
488 ÉQUILIBRB
clinaison de a0 sur la verticale AB est sensiblement égaie
à — ô — ; donc on doit avoir 2r
condition que nous avions obtenue.
On achèvera la solution, cette condition une fois remplie, en décomposant la force S, résultante de P et Q, suivant les directions données a^ et a'p'.
512. Nous n'avons pas déterminé le rendement de ce système ; ce mot n'a pas de sens ici, parce que le travail utile n*est pas défini. Jusqu'à présent, nous avons pris pour travail utile un travail qu'on ne puisse ni supprimer ni même réduire au delà de toutes limites ; tel est en général le travail de la pesanteur. Ur, dans ce problème, la pesanteur ne produit aucun travail, puisque le centre de gravité du système ne change pas de hauteur. Le travail utile ainsi défini serait nul, et le rendement égal à zéro.
Le travail du transport horizontal des fardeaux provient entièrement en elTet des résistances passives, et on peut le réduire autant qu'on le voudra par l'emploi de moyens de transport de plus en plus perfectionnés. Ainsi la résistance à la traction à faible vitesse est moindre sur un chemin de fer que sur une route, et moindre encore sur un canal que sur un chemin de fer.
ÉCUILIBnE DE LA DnOUETTE.
313. La brouette porte, par son extrémité antérieure, sur une roue qui est destinée à rouler sur le sol ; à l'autre extrémité, elle est terminée par des manches que l'ouvrier rouleur tient dans ses mains et pousse en avant. Le rouleur porte ainsi une partie de la charge contenue dans la caisse de la brouette, et de plus il développe un travail moteur pour faire
DE U BROUETrE. «o
atancer la brouelle le long du chemin qu'il doit lui faire parcourir.
Cherchons les condilions d'équilibre de l'appareil, lorsque l'ouvrier gravit une rampe
d'un mouvement uniforme.
Soit SS' le profil de la rampe;
OB la rouft de la brouette ;
B le point de contact géomélrique de la roue avec le sol;
C le point de contact réel, f-„ jgj
reporté un peu en avant, à la distance !, pour tenir compte delà résistance au roulement;
AO les longerons de la brouette ;
A le point que tient l'ouvrier rouleur et auquel il applique une force F ;
G le centre de gravité, et P le poids de la brouette, y compris la charge qu'elle contient, mais non compris la roue ;
P* le poids de la roue, qu'on peut supposer appliqué en son centre 0;
G' le centre de gravité des poids P et V, et Q , le poids lolaI,P + P', du système.
La réaction du sol sur la roue passe par hypothèse au point C ; on peut donc la représenler par une droite CL, dont la direction et la grandeur restent encore à déterminer. La force CL, composée avec le poids G'Q, doit ôlrc égale et con- Iraîrc à la force AF, mais celle force Al" est elle-même inconnue en direction et en grandeur, et on ne connaît jusqu'ici que son point d'appl. cation A.
Pour achever de déterminer lesineonnues, nous chercherons séparément les conditions d'équilibre du corps de la biouetie cl de la roue. Ces deux systèmes sont en contact sur une arête des tourillons de la roue, et là, comme il y a glissement de l'un des syslùmes sur l'autre, la réaction mutuelle des deux systèmes tait avec la normale commune aus surfaces frottan-
sjaicuieb luii avec
les, en sens contraire du mouvement relatif, un angle égal à Tangle 9 du frottement. Nous supposerons les tourillons de la roue mobiles dans Tœildu longeron.
Soit OE le tourillon (fig. 293), et E son point de contact avec rœil; la roue tournant dans le sens de la flèche f, la réaction
subie par la roue de la part du longeron a pour direction une droite ER qui fait avec la normale EO un angle OER = 9. La réaction de la roue sur le corps de la brouette est une force R', égale et contraire à la force R. Abaissons du point 0 une perpendiculaire 01 sur la direction commune des forces R, R', On connaît dans le triangle rectangle OIE l'angle E, égal à l'angle du frottement, et l'hypoténuse OE, égale au rayon du tourillon. Donc on peut construire ce triangle^ et en déduire la longueur du côté 01. Si du point G comme centre, avec cette longueur pour rayon, on décrit un cercle, la direction commune des réactions mutuelles R, R' de la roue et du corps de la brouette est une tangente à ce cercle (fig. 294). On sait de plus que la force R' fait équi-
Fig. 293.
I ib'. ti04.
libre aux forces GP et AF, tandis que la force R fait équilibre aux forces OP' et CL; ce qui exige que les trois droites RR', GP, AF, concourent en un même point M, et que les trois droites RR', CL, OP' concourent aussi en un môme point N. Les droites GP, OP' sont connues de position ; quant aux
DE U cnOUETTE. 401
droites AF, CL, on n'en connaît qu'un point, A et C; enfin pour la droite RR', on sait seulement qu'elle est tangente à un cercle donné décrit du point 0 comme centre avec 01 pour rayon.
te problème est ramené ii tracer par des points donris A et C deuï droites AF, CL, se coupant sur une droite donni'fi G'Q. et toiles fju'en joignant los points M et II où ces droites coupent respectivement les droites données GP, OF, la droite MU suit l^in^eiite au cercle donné 01.
Supposons le proldùme résolu ; joignons les points donnés A cl C, et prolongeons cette droite jusqu'à sa rencontre en D avec la droite Mil. Soient m, n, k, les points où les droites donntesGP, G'U. OP', rencontrent la droite AC. Le triangle ANC coupé par la transversale rcctilignc MllD, donne la i-clalion U 3^)
le rapport n^ est égal à — ■, à cause des parallèles S1P,
KQ ; de même '-.
P ; ces rapport? sont connus. La rela-
tion précédente fait connaître le rapport
et, par suite, définit la position du point D sur le prolongement de AC. 11 suflira de mener par le point D une droite DM tangente au cercle donné 01. Cette droite sera la direction cherchée des réactions R, ïl', de la roue et du corps de la brouette.
Elle coupe les directions GP, DP', aux points M et H, qu'on joindra aux points A et C. 1.» force I", décomposée suivant les directions HC, IIM, aura pour composantes la force h et la réaction CL du sol sur la roue. La force P, décomposée suivant les directions MA, MD, aura pour composantes la réaction R, déjà connue, et l'effort AF que doit développer l'ouvrier.
On peut mener par le point D deux tangentes au cercle 01 ; mais ces deux tangentes ne donnent pas deux solutions du problème, car Tune, celle que nous avons tracée, correspond au cas où la brouette remonte la rampe , ce que nous avions admis, tandis que Tautre correspondrait au cas où la brouette serait déplacée en sens contraire et descendrait la pente : la force R doit toujours, en efTet, être dirigée en sens contraire de la rotation de la roue.
La solution peut être simplifiée et dégagée de tout calcul.
Soient SM% SN', SH\ trois droites concourantes en un point S (fig. 295).
Plaçons deux triangles M'N'ff, IfND, de manière que leurs sommets soient respectivement sur ces trois droites, et déterminons les points A, C et D, où se coupent mutuellement les côtés correspondants NN et M'N', NH et N'U\ HQ et H'fl'. Ces trois points seront en ligne droite.
Fig. ?95. Fig. t9t .
En effet, nous pouvons regarder la figure plane que nous venons de tracer comme la perspective d'un tétraèdre S M'H'N', qui serait coupé par un plan MHN; les points A, C et D, appartiennent à la fois au plan de la base M'H'N' et au plan MlDî; donc ils sont situés sur rinlerseciion de ces deux plans, et sont par conséquent en ligne droite.
Cela posé , il est facile de résoudre le problème suivant (fig. 296) : Étant donnés trois droites concourantes SM',
